老师，请问一下multiple liability duration matching的时候，match的duration是modified duration，但是为什么single liability duration matching的时候，match的是Macaulay Duration，而不是modified duration 呢？
pzqa015 · 2022年02月13日
嗨，从没放弃的小努力你好：
关于用什么duration match这里，结论是single liability用mac duration match，multiple liability用modified duration match。原理如下：
Single liability免疫：
负债端只有一笔现金流，不受收益率曲线变化的影响。那么我们构建的Portfolio也要尽量不受收益率曲线变化的影响，这是immunization这个词的含义，也是构建Portfolio的基本原则。
首先，回顾一下，持有一只债券的收益率是如何计算。
根据P0(1+r)=P1+coupon①这个公式，P0是期初买入债券的价格，P1是现在债券市场价格或者未来可以卖出的价格，r就是持有债券一段时间的投资收益率。如果投资期是一期，没有coupon再投资问题；如果投资期是多期，要考虑coupon的reinvestment问题，比如，投资3期，每期coupon为3，假定期间现金流以ytm再投资，那么根据PV=0，PMT=3，N=3，I/Y=ytm，求解出FV就是上面公式的coupon了，它包含的是coupon和coupon的在投资收益。（这是一级固收的知识点）。
其次，我们分析一下公式①，影响债券投资收益r的因素有两方面：
一是P1，它是债券的卖出价格，收益率曲线一旦变化，债券卖出价格不再确定，这是price risk，用duration衡量，duration越大，price risk越大；
二是coupon，它是持有债券期间的coupon以及coupon再投资收益，一旦收益率曲线变化，coupon确定，但coupon的再投资收益就不确定了（也就是不能假设以ytm再投资了），这是reinvestment risk，用investment horizon衡量，投资期越长，reinvestment risk越大。
收益率发生变动，price risk和reinvestment risk对投资者的影响是相反的，比如考虑收益率曲线上升的情形：
若投资期长，price risk对投资者不利，但reinvestment risk对投资者有利；若投资期短，price risk对投资者有利，但reinvestment risk对投资者不利。所以，一定存在一个条件，这个条件使得price risk与reinvestment risk相互抵消，收益率曲线变动对portfolio value的影响就被控制了，portfolio可以获得确定的return，这样就实现了免疫的初衷。
这个条件就是mac D=investment horizon。由于要与投资期比，只有mac D代表现金流的加权平均到期期限，是一个时间的概念，所以，要用mac D与investment horzion比较。
有下面结论：
Mac D＞investment horizon，则price risk＞reinvestment risk
Mac D=investment horizon，则price risk=reinvestment risk
Mac D＜investment horizon，则price risk＜reinvestment risk
所以，单笔现金流负债免疫，我们要让mac D=investment horizon。
一级固收科目用一个具体例子证明
假设期初买入时ytm=10.40%，
第一行是卖出时收益率曲线下降到9.4%，此时的P1=96.481299,coupon(包含再投资收益）=74.512177，total return是170.993476。
第二行是卖出时收益率曲线不变，仍维持10.40%，此时P1=94.073336，coupon(包含再投资收益）=76.835787，total return是170.993476。
第三行是卖出时收益率曲线上升到11.40%，此时P1=91.748833，coupon(包含再投资收益）=79.235183，total return是170.993476。
由于期初买入价格P0不变，total return又一样，所以无论收益率曲线如何变化，持有期收益率r是确定不变的。
Multiple liability 免疫：
与单笔现金流负债不受收益率曲线变动影响不同，多笔现金流负债受收益率曲线变动影响，所以，我们构建portfolio的目的也不是获得确定收益了，而是要让收益率曲线变动时，资产与负债的价格变动尽量相等，也就是BPVA=BPVL。BPV=-MD*1bp*P，所以用到的是modified duration，而不再是mac duration了。
----------------------------------------------虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！