请问答案的portfolio duration 6是怎么算出来的？另外average macaulay duration有什么用么。
没懂这题要考的是什么。。
发亮_品职助教 · 2021年05月25日
嗨，努力学习的PZer你好：
另外average macaulay duration有什么用么。
没什么用。一般计算的Average macaulay duration会有一定的误差，不能代表Portfolio真正的Macaulay duration，用这种数据做Duration-matching会产生匹配不成功的风险，即债券指标误差带来的不匹配风险，Risk of measurement error。
没懂这题要考的是什么。。
其实就是考察为什么用定义算出来的Macaulay duration和Average macaulay duration不一样。原因就是A选项，利率曲线向上倾斜引起的。利率曲线向上倾斜其实最终导致的是债券的折现率Yield不同，所以本质原因是债券的折现率不同引起的。
用定义算的Macaulay duration，是给Portfolio的所有现金流都使用了相同的折现率，Portfolio cash flow yield。
而Average macaulay duration就是给组合内债券的Macaulay duration做了个简单的加权平均。这种加权平均其实忽略了一个问题，就是3个债券的折现率Yield不同，因此以Yield为基础计算的Macaulay duration不再同一个基准上，那简单的加权平均会有误差。例如，这道题2.5-year的债券使用的Macaulay duration=2.463，但这个数据是使用1.3979%的折现率算出来的。
同理，7-year bond的Macaulay duration是6.316，这个数据是使用3.2903%的折现率算出来的。那这两个Macaulay duration是使用不同的Yield算的，其实直接做加权平均会有误差。
关于这道题大概说一下思路：
题目是一个Portfolio做Duration-matching。已知Portfolio是符合Single Liability Duration-matching条件的，那我们知道，本题符合：
Portfolio asset Macaulay duration = investment horizon；而本题的Investment horizon =6，所以本题的Portfolio Macaulay duration = 6；这个Macaulay duration是严格按照定义计算的，是Portfolio最真实的Macaulay duration。
同时，题干用简单的加权平均算了一个加权平均的Macaulay duration，算下来是5.8776。
于是，这道题有2个Macaulay duration，一个是简单加权平均的5.8776，一个是Portfolio Macaulay duration 6；现在题目问我们为什么两个Macaulay duration之间会有差异。
这道题直接选A，是原版书结论。
其实就是收益率曲线向上倾斜造成了这种情况。即，当收益率曲线向上倾斜时，3个债券的Yield不同，简单的加权平均没有考虑到这点，所以算出来的Macaulay duaration过小；
而Portfolio真正的Macaulay duraiton，是用统一的Portfolio cash flow yield算出的Macaulay duration，是给3个债券的现金流使用了相同的折现率，同时Cash flow yield这个折现率会更大一些，于是，算出来的Macaulay duration会更大一些。这点其实在基础班有讲（参考讲义86页）。
下面，我就大概说一下情况，然后再附上一个链接，是我前几天回复的一道题目，可以参考下，然后有疑问再提问~
首先就是，简单的加权平均，就是把Portfolio内部的3支债券各自的Mcaulay duration算了个平均，这是一种简单粗暴的方法，用这种方法计算出来的加权平均Macaulay duration来充当Portfolio Macaulay duration会有一定的误差。因为我们从题干可以发现，3个债券的Yield-to-maturity不同，所以三个债券的Macaulay duration计算的基准不同。
而Portfolio Macaulay duration，如果要精确的计算的话，是将Portfolio当成一个大的债券，这个债券的现金流金额可知，债券现金流的发生时间可知，于是，我们可以严格地按照Macaulay duration的计算公式来计算Portfolio Macaulay duraiton。
可以发现，这种方法不会参考成份债券自己的Macaulay duration，而是直接把Portfolio当成一个债券，所以严格按照定义计算的这种方法就避免了3个债券的Yield不同产生的误差。
在算简单的加权平均时，是给2.5-year的Macaulay duration 2.463；7-year的Macaulay duration 6.316以及10-year的Macaulay duration 7.995做了简单的加权。
而2.5-year的Macaulay duration 2.463，是用折现率1.3979%算的；7-year的Macaulay duration 6.316是用折现率3.29%算的。
这两个折现率是小于Portfolio的Cash flow yield（本题的Portfolio cash flow yield差不多是3.7%），说明简单的加权平均给了2.5-year的Macaulay duration与7-year的Macaulay duration过大的权重，这会导致简单加权平均算出来的Macaulay duration过小，小于Portfolio真实的Macaulay duration。
这其实也是答案的解释逻辑，解释了为什么Average macaulay duration小于用定义算的Macaulay duration，这样的话，这道题就是可以选A。
可以参考下面链接，有更加具体地说到原因，以及针对考试应该掌握的知识点，如有疑问可以追问，我们继续讨论：
https://class.pzacademy.com/qa/77855
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今天也要来一杯 · 2021年05月26日
谢谢老师，懂了。（就是说分别看个债券用的都是对应年限的ytm折现，所以分别现金流会有三个不同的折现率，但是从组合整体角度，每年三比汇总现金流用的都是同一个折现率，所以portfolio macaulayduration会与加权平均结果不同） 另外，就是我粘贴的这个图选的答案C是错的，应该选A对吧？
发亮_品职助教 · 2021年05月25日
嗨，从没放弃的小努力你好：
请问答案的portfolio duration 6是怎么算出来的？
就是按照Macaulay duration的定义计算出来的。这个不是3级的考纲要求，应该在1级有考纲要求（可能一级从来就没有考过），在3级一般会直接给我们这个Macaulay duration数据的。
下面就大概说一下这个12.0008是如何算到的，最终需要知道按照定义计算的Macaulay duration会更加准确，而用简单的加权平均算Portfolio macaulay duration会有误差。12.0008就是严格按照Macaulay duration的定义计算的：
第一步：根据表格里的3支债券的情况，我们可以写出这个Portfolio在每一期的现金流。
如下图第三列红框的Cash flow，我们期初买入Portfolio需要花费200,052,250，代表现金流的流出；然后后面逐期我们会拿到组合内各个债券的现金流，如，在17年Aug.15，会拿到3支债券的Coupon：
第一支债券的Coupon是：47000000×1.50%/2 = 352,500
第二只债券的Coupon是：97300000 × 3.25%/2 = 1,581,125
第三支债券的Coupon是：55600000 × 5% /2 = 1,390,000
加总之后，就是17年AUG.15的总现金流：3,323,625
同理，其他每一期的现金流都可以算出来。每一期的现金流就是3支债券的现金流加总。
有了这个Portfolio的现金流分布，我们就可以把它当成债券，算出Portfolio的内部收益率Cash flow yield，他相当于是Portfolio的Yield-to-maturity；
第二步：对每一期的Cash flow用Cash flow yield进行折现，就会得到第4列的PV Of cash flow，这是算出每一期Cash flow的现值。
第三步：有了每一期现金流的现值，我们就可以算出来第5列的现金流的权重Weight，他是本期的现金流现值除以现金流现值总和。
第四步：用每一期现金流的权重，乘以该笔现金流的发生时间，我们就可以算出来第六列的Time × Weight；
把第六列的Time × weight加总之后，就是12.0008。
12.0008代表的是债券现金流发生的平均时间，因为我们是对现金流发生时间做了加权平均，而时间的权重是各期现金流现值的占比。这其实就是Macaulay duration的概念，是债券现金流发生时间的加权平均。
只不过在本题里，这个债券是半年付息一次，所以12.0008还要再除以2，就是年化后的Macaulay duration，就是6了。代表的意思是，我们投资这支债券，平均来看，收到所有的现金流需要花费6年。
以上是Macaulay duration按照定义的计算方法，不是3级需要掌握的内容。
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