Expected return & yield

嗨，努力学习的PZer你好：

1. the expected return of a bond with higher convexity will be higher than an identical duration, lower convexity bond if interest rate change

这句话是说，当利率改变时，投资债券可以获得的投资收益。

可以参考利率改变对债券价格的影响公式：

△ Price % = - duration × △ Yield% + 1/2 × Convexity × （△ Yield）^2

当利率发生改变时，通过债券的Duration与Convexity共同影响债券的价格。

从公式中我们可以发现，只要利率发生改变，Convexity对债券的影响永远只正向的，如：

1、当利率下降时，通过Duration的影响债券的价格上升，但是还没有完，通过Convexity的影响，债券的价格会进一步上升；

2、当利率上升时，通过Duration的影响债券的价格下降，但是Convexity这一项是正数，所以Convexity会阻挡一部分债券价格的下降。

于是，只要利率能够发生改变，Convexity对债券价格的影响就是正向的。

那这样的话，我们两只债券，他们的Duration一致的情况下，在利率变动时，Convexity更大的债券，他的表现会更好一些。

这就是第一句说的意思，两个Duration一样的债券，在利率变动时，Convexity更大的债券，预期会有更高的投资收益（Expected return）。

本质原因是Convexity是债券的优质属性，在债券价格上升时Convexity可以加速债券价格上涨，在债券价格下降时，Convexity可以抵挡债券价格的下降。那Convexity更大的债券，可以获得债券价格上的优势（更多的Capital gain，更少的Capital loss），因此可以获得更高的投资收益。

但注意，只有利率变动时，Convexity才能发挥这个“涨多跌少”的作用。

2. a bond with higher convexity might be expected to have a lower yield.

这句里的Yield实际上是指债券分母上的折现率，即，持有至到期收益率Yield to maturity

由于Convexity具有“涨多跌少”的优质属性，所以Convexity大的债券往往会卖的很贵。

那期初购买这类债券反算出来的持有至到期收益率YTM就会很低。

意思就是，以这样的高价格买入债券，如果持有至到期的话，获得的投资收益就是这个较低的Yield。这是第2句话的意思。

因为，利率变动通过Convexity影响债券的价格，使得债券价格上升时涨的更多，债券价格下降时跌的更少，只有提前卖出债券才能实现更多的Capital gain，更少的Capital loss。

而债券的Yield衡量的是持有至到期的收益率，对于持有至到期，Convexity的好处就发挥不出来，因为到期拿到的都是债券本金，不存在Capital gain or loss，反而期初为了购买Convexity更大的债券，期初付出了更高的购买成本，那算出来的持有至到期收益率就会更低。

以上就是第2句的意思。

总结下：

只有利率变动，且在债券期间提前卖出债券的，才能收获Convexity“涨多跌少”的好处。如果是持有至到期的债券，或者是利率没有改变，Convexity反而无法发挥作用，那么期初为了高Convexity而付出的高购买价其实就浪费了，这种浪费会拉低持有至到期收益率。

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