关于Duration mathing的条件，为什么DA=DL=investment horizon时可以免疫？

嗨，爱思考的PZer你好：

但这是如何推导出来的呢？

纯数学推导的话会比较难，不属于咱们的要求了，如果有兴趣可以Google一下。

immunization已经属于比较成熟的技术了，所以可以说这个Price risk与Reinvestment risk相互抵消已经是经受住了实践的考验了~~

那如果不用数学推导，咱们找个债券的例子，实际算一下收益也是可以证明出来的。

利率的移动，对影响债券投资收益率的途径有2条：

1、通过影响债券Coupon的再投资收益，Coupon reinvestment 来影响债券的投资收益；

2、通过影响卖出债券的买卖价格，Price risk来影响债券的投资收益

那我们就找个债券的数据，实际算一下，利率变动之后，Coupon reinvestment return与Capital gain or loss分别是多少。看看两者是否能相互抵消。

例如，现在找了1个10年期债券，Coupon rate = 8%，期初债券的价格为85.50，所以可以算出来债券的YTM=10.40%

债券的Macaulay duration算出来差不多=7。

那现在我们让投资期Investment horizon = Macaulay duration = 7；

首先，我们假设利率没有变动，债券的YTM仍然为10.40%，在这种情况下，投资债券7年的年化收益率肯定就是10.40%

第2种情况，我们假设利率在期初平行上移，新的YTM变成了11.40%；此时，在投资期结束时，债券的卖出价格等于债券剩余3年现金流的折现之和；折现率为新的利率11.40%。我们很容易能算出来债券的卖出价格为91.749

而债券Coupon期间的再投资利率是11.40%，我们也很容易算出来Coupon经过再投资之后在第7年年末的值：

Coupon=8，第一笔Coupon复利6年；第二笔5年，第三笔4年.....

8×（1+11.40%）^6 + 8×（1+11.40%）^5 + 8×（1+11.40%）^4 + .....8 = 79.235

那么投资该债券期初的买入价是：85.50；期末获得总现金流是：79.235 + 91.749 = 170.984

那我们可以算出，投资这7年的年化收益 85.50 ×（annual return）^7 = 170.984

可以算出来，Annual return = 10.40%

以上是利率上升时的计算方法，算出来投资债券的收益为10.40%，我们发现利率上升，债券的投资收益并没有变化。我们也可以用同样的办法，算一下利率下降时债券的收益率，算出来仍然是10.40%

我们发现，当满足投资期等于Macaulay duration的情况时，利率不变时，投资7年的年化收益是10.40%；

期初利率平行上移之后，投资7年的年化收益仍然是10.40%；

期初利率平行下降之后，投资7年的年化收益仍然是10.40%；

由于利率变动通过Coupon reinvestment risk与Price risk来影响债券的投资收益，且两者的影响方向是相反的。当投资期等于Macaulay duration时，我们发现无论利率上升、还是下降，债券的投资收益率都不变，所以可以判断是Price risk与Reinvestment risk相互抵消掉了。

或者，我们可以以利率不变时为Benchmark，利率不变时Coupon reinvestment return与利率不变时的债券卖出价为Benchmark，在平行上移时，我们可以算出来期末卖出价相对Benchmark下降了多少；Coupon再投资收益相对Benchmark提升了多少。最终也可以看出来，卖出价下降的幅度刚好等于Coupon再投资提升的幅度，即，两者抵消。

以利率不变时为Benchmark，在平行下降时，我们可以算出来卖出价上升了多少，Coupon再投资收益下降了多少。最终也可以看出来，卖出价上升的幅度刚好等于Coupon再投资下降的幅度，即，两者抵消。

以上数据，可以证出当Macaulay duration = investment horizon时，Price risk与Reinvestment risk相互抵消，这个过程实际也是1级固收中原版书给出的方法。三级了解即可。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！