在duration matching中的Mac Duration和Modified Duration问题

嗨，从没放弃的小努力你好：

“老师，我记得在match single liability的时候有一个条件是要求DA=DL，其中这个duration就是Macaulay Duration”

正确！在Match single liability时，只用看Macaulay duration。

考试的时候有可能会在Duration的问题上做文章，例如给出Modified duration、Effective duration与Macaulay duration。

我们在匹配单期负债时，只能用Macaulay duration。

“但是在match mutiple liabilities的时候却是要求资产负债两端BPV相等，而BPV=MV*Modified duration*1bp，所以在这里原版书是不是偷换了概念将Mac D换成了MD？”

不是的。这里是有一个推演的路径的。

我们匹配单期负债时，会满足以下条件：

1、PV Asset = PV Liability

2、Asset Macaulay duration = Liability Macaulay duration

3、Minimize asset convexity。

已知资产、负债的PV相等，终值相等，那可知，资产负债的折现率（Yield）相等。

由于Modified duration = macaulay duration / (1+yield)；且Asset Macaulay duration = Liability Macaulay duration；

我们可知，此时Asset Modified duration = Liability modified duration

又由于资产、负债的PV相等，BPV = Modified duration × Market value × 0.0001

我们可知，构建好的单期负债免疫策略，有：Asset BPV = Liability BPV。

那这样的话，我们就知道，构建好的单期负债免疫组合，最终满足Asset BPV = Liability BPV；

多期负债实际上是多个单期负债的组合，将单期负债推广至多期负债时，免疫的组合依然会满足Asset BPV = Liability BPV。我们原版书在讲解多期负债匹配时，也是按照这个逻辑推广的。

所以在多期负债匹配里面，我们关注的是免疫后的条件：Asset BPV = Liability BPV；

那现在已知多期负债匹配满足Asset BPV = Liability BPV，我们可不可以在多期负债这里，逆向地推回去，推出来资产PV=负债PV，Macaulay duration相等、Yield相等呢？

其实在多期负债这里，是不能逆向推回去的。因为在多期负债匹配里面，经常会有资产的PV不等于负债的PV的情况，也有资产的Yield不等于负债的Yield的情况，也有Macaulay duration不相等的条件，因此在多期负债匹配这里，我们只用关注一个综合条件BPV相等即可。无需关注Macaulay duration，与Yield。

“还是默认资产负债两端的Mac D除以1+r之后得到的Modified duration会相等（因为我觉得资产负债端的r是不同的）？”

是的。就是这么推出来的。单期负债匹配满足之后，可得资产BPV=负债BPV；这是一个综合的条件，满足免疫一定满足BPV相等。

在单期负债匹配里，资产、负债的收益率yield是相等的（或者十分接近的），因为资产与负债互为镜像，匹配单期负债就是用资产模拟负债。在多期负债匹配这里，无法构建镜像资产组合匹配，只能宏观上匹配，所以经常有资产、负债PV不相等，Yield不相等，我们就不关注细化的Macaulay duration指标了，只关注最终的免疫指标BPV相等。

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就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！