Asker · 2020年10月10日

问一道题：NO.PZ2015120604000125

问题如下：

The population is 6000 programmer which is supposed to be normally distributed. A sample with 100 size is drawn from the population. Based on z-statistic, 95% confidence interval of sample mean of annual salary is 32.5 (in thousands) dollars ranges from 22 (in thousands) dollars to 43 (in thousands) dollars .Calculate the standard error of mean annual salary:

选项：

1.96.

3.99.

5.36.

解释：

C is correct.

At the 95% level of significance, the critical value is $z_{α /2} = 1.96$ .

So the confidence interval is $32.5 \pm 1.96 σ_{\bar{x}}$ ,

From the equation t 32.5 + 1.96 σ $_{\bar{x}}$ = 43 or 32.5 - 1.96σ $_{\bar{x}}$ = 22, we get $σ_{\bar{x}} = 5.36.$

我画一个正态分布图，mean 是 32.5，22 和 43 是距离 mean 有 1.96 倍标准差的位置，也就是 32.5±1.96*σ，那这个σ求出来了，再除以根号下 n，也就是根号下100，这样的算法为啥不对呢？

翻到前面的解释是这样的：

区间应该是 X bar±1.96*X bar的标准差。这里“X bar的标准差”（或者描述为样本均值的标准差）就已经是标准误的概念了，所以计算出来也不用再除以根号n了。

不是很理解这句话：这里“X bar的标准差”（或者描述为样本均值的标准差）就已经是标准误的概念了

所以我的算法为啥不对呢？

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星星_品职助教 · 2020年10月10日

@GrandSoar

理解基本没问题。

如果只抽一次样，这个样本里就可以求得一个样本均值和一个样本标准差 s。

根据中心极限定理，这个样本均值（本身也是一个随机变量）服从正态分布，均值就是总体均值μ，标准差就是总体标准差σ除以根号n。

也就是如果抽很多次样，每次抽样都会有一个样本均值，这些样本均值放在一起再求均值，这个新求得的均值就是总体均值μ。但因为中心极限定理的存在，我们就不需要特意再去抽样很多次然后再把很多样本均值放在一起求均值了，只抽样一次就可以确定这个样本里的样本均值一定服从正态分布，这个正态分布的参数就是μ，和σ除以根号n。

这里的σ除以根号n，就是样本均值的标准差的概念，也就是标准误。

当总体标准差未知的情况下，我们可以用抽取一次的这个样本标准差s来替代总体标准差σ，这个时候标准误的求法就变成了s除以根号n。

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星星_品职助教 · 2020年10月10日

同学你好，

按照你列式的求法，也就是置信区间的公式求出来的“σ”直接就已经是standard error了，不需要再除以根号n。

可以复习一下置信区间的公式。这个公式前面对应的是样本均值X bar，后面对应的就是样本均值X bar的标准差。这个样本均值的标准差就叫做标准误。

只有当你知道的是样本的标准差s，要求样本均值标准差（也就是标准误）的时候，才需要用样本标准差s除以根号n。

所以需要区分一下样本标准差，和样本均值的标准差（标准误），并知道具体情况下应该如何应用

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Asker · 2020年10月10日

只有当你知道的是样本的标准差s，要求样本均值标准差（也就是标准误）的时候，才需要用样本标准差s除以根号n。这个概念我有点混淆的是：样本标准差 s，是说一个总体里取样一次，该样本里所有个体求均值求标准差。而样本均值是说，我抽样了 100 次样本，这 100 次样本的 100 个均值，可以求一个新的均值和标准差。是这样的区别么？不知道评论和追问，哪个能被看到，我都试试看吧

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