发亮_品职助教 · 2020年02月04日
嗨，努力学习的PZer你好：
“当asset portfolio 的Price risk＝reinvestment risk时immunization 推出Mac Dur＝investment horizon 这个是怎么推出的？”
就是根据Price risk与Reinvestment risk的相对关系分析出来的。是当成债券投资的特性讲解的。
证明的话在1级原版书其实是用了一个例题证明的，他的证明思路如下：
一个10年期债券、Coupon rate = 8%（Annual payment）， 现在的卖价是85.503；很容易算出来债券 YTM=10.40%；
然后按照定义计算出来了债券的Macaulay duration = 7 years；
让债券的投资期，Investment horizon = Macaulay duration = 7 years
他假设市场利率不变，就等于债券期初的YTM 10.40%，算了一个下投资7年的总收益是多少：
这是Coupon and Coupon reinvestment的收益：
第一年的Coupon能再投资6年，所以复利6次；第二年的Coupon能复利5年；最后投资第7年年末拿到的Coupon等于8，没有复利。算下来Coupon and coupon reinvestment return = 76.84
然后算了一下第7年年末卖出债券的价格，就是债券未来3年现金流折现到第七年年末：
最终，Coupon and Coupon reinvestment 加上卖出的价格，就是投资期结束后本息总金额：
94.073 + 76.84 = 170.909
投资期期末本息和是：170.909，期初投入85.50；所以可以算年化收益率如下：为10.40%
然后，他假设利率上升到11.40%，按照同样的步骤算了一下Coupon and coupon reinvestment return：
算了一下期末卖出价格：
所以投资期结束时，本息和为：91.75 + 79.23 = 170.98，期初投资为85.503，算一下投资期收益率：
发现哪怕利率上升，投资期内的年化收益仍然是10.407%，基本等于10.40%；
那这就说明，当Investment horizon = Macaulay duration时，利率的改变，不会影响到实现的投资收益率10.40%
利率降低时，也是通过同样的方法进行了计算，最终收益仍然是10.40%。
这样就证明了：当Investment horizon = Macaulay duration时，利率的改变，使得Coupon reinvestment与期末卖价相加，始终等于170.90（附近），所以算出来的投资收益率是不变的。
也就是利率变动对Coupon再投资的影响与期末卖出价格Price的影响相互抵消，才能保证投资期末Coupon reinvestment与期末卖价相加始终等于170.90，才能保证投资收益率在10.40%。
“因为MAC是现金流的平均还款期，所以要想免疫就等于投资期这样推出来的吗？”
是的。
当投资期 < Macaulay duration时，假设刚买入不到半年就卖出，此时Coupon and Coupon reinvestment=0；利率变动不会影响到债券Coupon的再投资收益；
但是，债券的期限还较长，利率的变动会影响到债券的卖出价格，于是：Price risk > Coupon reinvestment risk
当投资期 > Macaulay duration时，假设债券到期前卖出债券，此时利率变动对债券价格的影响非常小了，因为债券临近到期，价格会回归面值；但是债券前期积累的Coupon和Coupon reinvestment很多，利率改变对再投资收益的影响较大。于是：Price risk < Coupon reinvestment risk
于是：
投资期 < Macaulay duration：Coupon reinvestment risk < Price risk
投资期 > Macaulay duration：Coupon reinvestment risk > Price risk
可以看出来，随着投资期的增长，Coupon reinvestment risk变大，Price risk变小，这样的大小关系转变，必然有一个位置让：Coupon reinvestment risk = Price risk ；这个位置就是：投资期 = Macaulay duration
用例子证明这个位置就是上面回复。
“为什么Mac D可以衡量Price Risk, Investment horizon能衡量RI risk？”
刚刚回答了这个问题，可以参考这个回复：
http://class.pzacademy.com/qa/questions/47753
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