发亮_品职助教 · 2020年01月05日
“不明白“当债券的投资期(Investment horizon) = 债券的Macaulay duration时，债券的再投资风险等于价格风险。”衡量债券再投资风险是债券的投资期，而价格风险的衡量是modified duration因为modified duration衡量的就是利率变动多少导致价格变动多少。）”
问题可能出现在对价格风险（Price risk）的定义上。
价格风险是指：提前卖出债券时，债券卖出价格不确定带来的风险。因为债券的卖出价格不确定，所以可能会有Capital Gain，或者Capital Loss；所以我们可以说价格风险是卖出债券价格不确定带来的不确定性的收益或亏损。
为什么会存在价格风险，因为在投资期间，利率可能会发生变动。
而Modified duration描述的是：利率变动时，债券价格的敏感度。他是一个参数，衡量债券价格敏感性，并非债券提前卖出时价格风险带来的Capital gain or loss。
所以：价格风险 ≠ Modified duration；
举个例子：
当我们买入债券时，Modified duration =5，此时利率下降1%，所以可知，债券的价格上升5%；
那这时，我们是否可以说债券卖出时，获得的Capital gain就是5%？
一定是不行的，因为随着时间的流逝，债券价格有一个“Pull to par”的效应。
随着债券价格像向面值靠拢，期初5%的Unrealised capital gain，会逐渐消失，所以最终债券卖出时获得的Capital gain/Loss就一定不是用Modified duration衡量的5%的变动。
所以期初债券的Modified duration=5，这个数据并不能告诉我们债券卖出时会有多少的Capital gain/Loss。
事实上债券卖出时的价格风险（Capital gain/Loss），取决于利率变动时债券的Modified duration、利率啥时候变动、债券啥时候卖出，以及如果利率不变时债券原有的卖出价。
所以Modified duration他不能衡量价格风险，他只能衡量某个时刻债券价格的利率敏感度。
总结一下：
价格风险是指：因为投资期间利率会变，所以投资期末卖出价格存在不确定，因此会带来Capital gain/Loss；可以描述他为投资期间利率变动，对卖出债券时Capital gain/Loss的影响。
而Modified duration衡量的是利率变动时，债券价格的敏感度。他衡量了债券价格变动了多少，但是并不能衡量投资期结束时卖出债券带来的Capital gain or loss是多少，也就是Price risk是多少。
为什么Macaulay duration能衡量价格风险？因为他是时间的概念，是现金流回流时间的概念。
当投资期等于Macaulay duration时，就代表投资结束时，恰好完成了平均意义上的现金流回收。
投资期太短，比方买入债券持有1年就卖出，小于Macaulay duration=5，说明现金流回收的太少，债券期限还较长，所以这1年利率的变动对卖出价格带来的影响更大，所以卖出时债券带来的Capital gain/Loss主导投资收益；
投资期太长，例如投资期是7，大于Macaulay duration=5，说明投资期大于现金流回流时间的平均数，大部分现金流已经到账，已经进行了较长了再投资，所以Coupon reinvestment return占主导。
又因为投资期长较长，离债券的到期日更近，期间利率变动对债券价格的影响，都会因为Pull to par效应而逐渐变小；同时临近到期，债券的Duration较小，当前时刻利率的变动，对债券卖出时产生的Capital gain/Loss较小，所以Coupon reinvestment return占债券投资收益的主导。
投资期太短，Market price risk占主导；投资期太长，Coupon reinvestment return占主导；
所以投资期的临界点达到Macaulay duration这个时间时，Coupon reinvestment risk = Market price risk。
如果投资期初利率就下降，那么到投资结束时Coupon reinvestment return减少。同时，利率下降通过Modifed duration使得债券的价格上升，直到投资期结束时，债券价格会到达一个位置，相比较利率不变时的债券价格，此时会有一个Capital gain。
Coupon reinvestment return减少的金额恰好等于Capital gain部分，于是利率变动影响债券投资收益的两个方面抵消，债券投资获得的收益就是期初买债券时计算的收益。
发亮_品职助教 · 2020年01月04日
嗨，从没放弃的小努力你好：
“看理论推导过程，要求的是再投资风险等于价格风险，衡量这两个变动率是duration，那不应该是modified duration 更合适吗”
这个理论的推导过程，就是Duration-matching最本源的做法。以后衍生出多期负债匹配策略，也是以这种方法为Benchmark展开的。
当债券的投资期(Investment horizon) = 债券的Macaulay duration时，债券的再投资风险等于价格风险。
这个结论，是债券投资本身就有的，只要是债券投资，不管有没有负债匹配，都有这个特性。
因为利率变动，会通过债券的再投资风险以及价格风险影响债券的投资收益率，也就是利率变动，通过影响这两个方面的收益，进而影响到债券的投资收益。
如果这两个风险相互抵消，那说明利率变动影响债券投资收益的途径抵消了，也就是利率的变动不会影响到债券的投资收益。债券投资可以实现期初计算的收益率。那我们说这支债券的投资是有确定性收益的。
没有负债存在，仅仅是投资债券，这个特点也成立。
既然这样的债券投资有这种特性，他的投资收益是有确定性的，那我们用他来匹配负债就是非常保险的事情了。
能够保证投入PV的资产，在投资期内不会受到利率变动的影响，实现期初计算好的收益了，最终增长达到FV刚好Cover负债。这就实现了单期负债匹配。
所以，让Macaulay duration = investment horizon，我们使得债券的投资收益不受利率变动的影响、是一个稳妥的债券投资，完了有没有负债，这点都成立。
让债券资产的Investment horizon再等于负债的期限，意思就是用这种特性的债券资产去匹配负债，并且因为利率的变动不影响债券的投资收益，所以利率的变动也不会影响到匹配单期负债的效果，所以单期负债匹配的条件是：
Macaulay duration = investment horizon = Liability's due date
其中第一个等号是债券投资时的特性，保证了债券的投资收益率不受利率变动影响，可以实现一个稳定的收益；
第二个等号保证了是用这种特性的债券资产来匹配负债。
又因为是单期负债，所以Liability's due date = Liability's maturity = liability's Macaulay duration；所以最终的单期负债匹配条件变成：
Asset Macaulay duration = investment horizon = Liability's due date = liability's Macaulay duration
也就是资产的Macaulay duration = 负债的Macaulay duration
又因为资产匹配负债，我们是让资产的PV=负债的PV，资产的FV=负债的FV，那实际我们是认为匹配过程中：资产的收益率等于负债收益率；
由Modified duration = Macaulay duration / (1+r)；其中r为单期收益率；
既然资产负债的Macaulay duration相等，收益率相等，那由上面的公式，我们知道达到单期负债匹配之后，资产、负债的Modified duration也会相等。
从这也可以看出，Duration-matching，最本源的还是Macaulay duration相等。由一些条件也能推出Modified duration相等。
以上帮助理解，但要注意，在咱们三级固收这里，单期负债匹配的条件一定是Macaulay duration相等，没有其他。
-------------------------------虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！
