三级Fixed income讲义part II 152页例题

嗨，努力学习的PZer你好：

“P.S. 虽然何老师说Credit Risk这章很简单，但是我感觉这章比前面难理解的啊。。。前面几章理解起来没什么困难啊。。。但这章spread duration， empirical duration出来，真的有点懵。脑子里好混乱啊。。。所以问了好多问题。。。请多多包涵”

这章是小概念多，有点杂乱，不像前面有体系。Spread duration/Empirical duration/Modified duration/Effective duration差不多对应的点都讨论了，理解了就很容易记忆。

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嗨，爱思考的PZer你好：

“三、关于Empirical duration的理解

感觉上empirical duration是一个很奇怪的duration，因为分子分母是不match的。。。是benchmark利率变动一单位，对整个债券价格的影响？”

是的，是用基准利率的变化、和债券实际价格的变化，回归出来的，是一个真实数据反映的Duration。

“虽然是观察来的，不是真理，但是如果假设这个观察都成立：1单位benchmark利率变动，总会带来spread的相反变动

是不是可以理解为empirical duration=(Effective Duration*Yb +spread duration*Ys)/Yb，因为1单位benchmark利率变动，总会带来spread的相反变动，所以empirical duration

理解正确。不确定上面的公式是否存在，但是用它表达出来的思想是正确的！

现实中，利率的变动总是会带来Spread的相反变动；例如，利率上升时，往往伴随着Spread的下降；

所以实际的债券价格变动并没有Effective duration描述的那么大；比如，债券的Effective duration =2；用理论的Duration算出来基准利率上升1%，债券的价格下降2%；

但是现实中，基准利率上升1%，可能会伴随着Spread下降0.5%，综合来看，债券的价格可能只下降了1%；

这样用实际价格的变动1%，基准利率变动1%，算出来的Empirical duration只有1，那这个数就是小于理论值Effective duration=2；

以上只是举例，但实际算Empirical duration时，用到的债券价格变动都小于理论值，所以算出来的Duration小于理论的Effective duration。

原因就是用理论值Effective duration求基准利率变动、债券价格的变动率时，没有考虑到现实生活中存在利率变动与Spread变动对债券价格的相反作用。所以用Effective duration，会高估债券的价格波动率；

于是Empirical duration < Effective duration。

“而modified duration是(Effective Duration*Yb +spread duration*Ys)/Y总，Y总=Yb+Ys （如果Ys<0，Y总 empirical duration”

公式能推出来这个关系，数值上有这样的关系。

但是Empirical duration是通过基准利率的变动作用于债券的价格；和他属于同一类的是Effective duration，即基准利率变动1单位时，债券价格的波动。

所以Empirical duration的Benchmark是Effective duration，我们比较时，也是用Empirical与Effective duration比，所以才有原版书的结论：

Empirical duration往往小于Effective duration。这里Effective duration是基准利率对债券价格影响的理论值，Empirical duration是现实回归出来的基准利率对债券价格的影响程度。

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嗨，努力学习的PZer你好：

“二、下面这样理解Modified duration，spread duration, 和 effective duration 之间的差别，对吗？

Modified duration=Effective Duration*Yb +spread duration*Ys)/Y总，Y总=Yb+Ys ”

理解正确。

从定义上来理解：

Effective duration是按住Spread不变，基准利率变动对债券价格的影响；

Spread duration是按住基准利率不变，Spread变动对债券价格的影响；

Modified duration是债券的YTM变动，对债券价格的影响。由于债券的YTM=基准利率+Spread，所以只要Spread发生变动、或者只要基准利率发生变动、或者两者都发生变动，债券的YTM都会变动，所以对于不含权的固定利率债券有关系：

Effective duration × ΔBenchmark + Spread Duration × ΔSpread = Modified duration × (ΔSpread + ΔBenchmark)

“对于non-callable fixed rate bond, 当spread 变化，benchmark利率不变的时候，Yb=0,Modified duration就约等于 Spread Duration , 当spread变化，benchmark利率也变，(实际上effective duration=spread duration也大约是相等的，因为分开看，都是利率变动1单位，价格的变动，理论上算数，价格变化都是一样的吧），Modified Duration = spread duration*(Yb+Ys)/Y总，还是等于spread duration的”

理解正确！

对于不含权的固定利率债券，就可以用上面的公式来分析了。

“两个例外：

1. 对于国债，Ys永远=0,所以国债Modified duration=Effective Duration，不等于Spread Duration"

对的，因为国债没有Spread，所以也就没有Spread duration的概念了。

“2. 对于floating rate bond, effective duration是等于0的，算不出modified duration, 只采用effective duration， 让Modified duration约等于effective duration约等于0了，所以Spread Duration 和 modified duration就是显著不同的；或者理解为，modified duration，如果足够小的reset period, 本身数据也就是差不多等于0了”

理解正确。

Floating rate bond也是只有Effective duration、没法算Modified duration。

如果让Reset Period足够小，那Effective duration = 0，一般0.5年的Reset period我们也认为是ED=0

但是Floating rate bond的Spread duration是显著地不等于零。也就是浮动利率债券的Spread变动时，Floating rate bond的价格变动明显。

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嗨，从没放弃的小努力你好：

"一、讲这个例题时候何老师讲了如果实物的话，用duration match而不是maturity match, 用国债effective duration match算出一个Portfolio，short 这个Portfolio 就能Hedge掉int rate risk。 国债又没有spread risk, 那么就是说spread risk就还在对吧”

对的Spread risk还在。

这里是这样，我们计算G-spread时，G-Spread = YTM - Maturity-Matched Government bond YTM

用公司债的收益率，减去期限匹配国债的收益率，得到的差值代表公司债的G-spread，这是在计算G-spread时，我们利用Maturity-matched；

如果找不到期限匹配的国债，我们就用线性插值法，利用两个相邻的国债构建一个目标国债；比如，公司债是9年期的。而市场上能找到的国债是10年期与8年期的国债，那可以用线性插值法将8年期、10年期国债拼凑出一个Maturity=9的国债Portfolio，这样就可以算出这支9年期公司债的G-spread了。

用线性插值法解决期限不匹配的问题，也是G-spread的优点，我们可以将这个优点迁移到对冲利率风险这里。

我们手上持有Duration=9的公司债，为了对冲掉利率风险，我们需要Short Duration=9的国债。

如果市场上找不到Duration=9的国债，那可以使用G-Spread那里用到的线性插值法。比方说，我们能找到Duration=10、与Duration=8的国债，这两个国债拼凑起来可以得到Duration=9的国债Portfolio；

我们已经持有了公司债，为了对冲掉利率风险，就Short这个Duration=9的国债Portfolio，Portfolio由Duration=10、Duration=8的国债构成，权重按视频里的方法计算。

“国债又没有spread risk, 那么就是说spread risk就还在对吧，”

对的，因为是对冲掉利率风险；我们原有的头寸是Long corporate bond；然后Short Duration相等的国债Portfolio；所以留下的头寸是公司债的Credit risk。

“所以effective duration还是不包括spread duration?? 所以 effective duration*Yb + spread duration*Ys 才等于modified duration*Y总，这样理解可以吗？”

是的。Effective duration和Spread duration是分开的。

基准利率改变通过Effective duration影响债券的价格；

Spread改变，通过Spread duration影响债券的价格。所以Effective duration和Spread duration是相互独立的。

第二句话这个理解也是正确的。

举个例子，假设Benchmark rate变动+1%；Spread变动+2%；那我们可以用以下两种方式计算债券的价格波动：

第一种：

Effective duration衡量的是：按住Spread不变、基准利率变动对债券价值的影响，所以基准利率+1%，通过Effective duration对债券价值的影响、债券价格下降幅度是：Effective duration × 1%

Spread Duration衡量的是：按住基准利率不变，债券的Spread变动1单位，对债券价格的影响，因为Spread变动+2%，那通过Spread duration对债券价格的影响、债券的价格下降幅度是：Spread duration × 2%

所以这只债券，经历了Benchmark rate +1%，Spread +2%的变动之后，债券价格的变动幅度是：

Effective duration × 1% + Spread duration × 2%

发现Effective duration与Spread duration相互独立，受到影响的来源不同。这是第一种方法，计算债券经历这种收益变动之后的价格影响；

第二种方法是：债券的YTM = Benchmark rate + Spread；

所以Benchmark +1%，以及Spread +2%，会使得债券的YTM +3%；这样通过Modified duration对债券价格的影响是：

Modified duration × 3%

以上两种方法计算得到的债券价格变动一定相同，所以有：

Effective duration × 1% + Spread duration × 2% = Modified duration × 3

因为这是不含权的固定利率债券，所以债券的Effective duration等于债券的Modified duration，所以我们可以看到，如果是不含权的固定利率债券，得到下面关系：

Modified duration = Effective duration = Spread duration

这也解释了为什么不含权的固定利率债券：Spread duration = Modified duration。

总结下：

Effective duration是基准利率变动，影响债券价格的路径；

Spread duration是按住基准利率不变，债券Spread变动影响债券价格的路径；

Modified duration是债券收益率YTM改变影响债券价格的路径。因为债券的YTM=基准利率 + Spread，所以只要YTM改变，都会通过Modified duration来影响债券的价格，并且YTM改变的来源可以是基金利率的改变，或者是Spread的改变，或者是基准利率、Spread同时改变。

所以有：

Effective duration × ΔBenchmark+ Spread Duration ×ΔSpread= Modified duration ×（ΔBenchmark + ΔSpread）

因为不含权的固定利率债券，已知Effective duration = Modified duration，我们有：

Effective duration = Modified duration = Spread duration

"但是一级二级我们算effective duration，不是就是用YTM， 上升下降一单位，价格做个差，除以两倍的y的变化吗？"

这里有点问题。

Effective duration计算是按住Spread不变，只让基准利率上升、下降1单位，价格做差。

然后我们有了基准利率的变动，有了债券价格的变动，我们就有了Effective Duration。

例如，假设Spread=1%，初始基准利率是3.5%，那假设基准利率下降1%到2.5%，我们有债券新的折现率：2.5%+1%=3.5%，所以有一个债券价格；

基准利率上升1%到4.5%，我们有债券新的折现率：4.5%+1%=5.5%，所以有一个债券价格。

债券价格的变动已知，基准利率的变动已知，所以可算Effective duration。

“YTM里面不是spread和benchmark都考虑到了？？”

是的。只要Spread或者Benchmark rate改变，都会影响到YTM的改变。

YTM = Benchmark rate + spread

Benchmark rate的改变，通过Effective duration影响债券价格；

Spread的改变，通过Spread duration影响债券价格。

最终Benchmark rate的改变，或者是Spread的改变，都会影响到债券YTM的改变，债券YTM的改变通过Modified duration来影响债券的价格。

所以对于不含权的固定利率债券，假设按住Benchmark rate不变，Spread变动+1%，通过Spread duration对债券价格的影响（价格下降）：

1% × Spread duration；

因为YTM = Benchmark + Spread，Benchmark不变、Spread +1%，会使得债券的YTM +1%，通过Modified duration对债券价格的影响（价格下降）：

1% × Modified duration；

因为两种方式计算的价格变动一样，所以我们知道不含权的固定利率债券：Spread duration = Modified duration

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