Mac Duration 与investment horizon, price risk 与RI risk之间的关系

Price risk、Reinvestment risk与利率R之间的关系：

利率的变动通过两种方式影响债券的投资收益：

1. 利率变动会影响到债券的再投资收益（Reinvestment risk）；
2. 利率变动会影响到债券卖出时的价格（Price risk），即卖出时产生资本利得/损失；

所以，利率变动影响债券投资收益的两大风险就是：Price risk和Reinvestment risk；

而Price risk与Reinvestment risk，两者受到利率的影响刚好相反，所以天然就能相抵：

比如利率上升，Coupon的再投资收益上升，但因为利率上升，债券价格下跌，卖出债券时有资本损失Capital loss，所以一升一降，两者会相抵一部分；

利率下降时，Coupon的再投资收益下降，但是因为利率下降，债券价格上升，卖出债券有资本利得Capital gain，所以一升一降，两者会相抵一部分。

所以，利率变动通过影响Pric risk和Reinvestment risk来影响债券的投资收益。

这样的话，以债券的生命周期为标准，持有债券的期限不同，面临的主要风险不同，收益的主要来源也不同。

假设持有债券的期限较短（在债券生命周期的早期就卖出债券），债券面临很大的Price risk：

因为债券的Duration很大，此时的利率变动，债券的价格变动很大。同时，债券的Coupon没有积累多少，没有多少再投资的时间进行复利，因此Reinvestment risk的影响较小；所以这种情况，投资期限较短时，债券的Price risk占上风；影响投资收益的主要因素就是Price risk资本利得/损失。

而假设持有债券的期限较长（持有至债券生命周期的后期），此时，债券的Duration小，利率变动产生的Price risk较小；同时，因为债券临近到期，债券价格会逐渐回归面值，所以之前利率对债券价格产生的影响已逐渐摊薄；而对于这种投资期较长的债券投资，Coupon能够再投资的累计较多，因此Reinvestment risk对债券的投资收益影响较大；此时Reinvestment risk的影响占上风。影响收益的主要因素是再投资收益。

所以在债券的生命中，持有的期限很短的话，Reinvestment risk的影响很小，极限是还没收到Coupon就卖出债券，所以Reinvestment risk的极限影响就是0；随着持有期限变长，Reinvestment risk的影响会越来越大。

在债券的生命中，持有期限很短的话，Price risk的影响很大，随着持有期限的变长，Price risk的影响变小，极限是持有至到期的债券，极限情况下资本利得/损失的收益影响就是0；所以，随着持有期限变长，资本利得、损失的影响会越来越小。

所以债券的投资期从短期到长期，Price risk的影响由大变小变再变为0，而Reinvestment risk影响从0开始逐渐变大;

两个风险能相互抵消的风险，一个由0逐渐变大，一个由大逐渐变小至0，所以一定会有某个时长的投资期，两个风险的影响恰好完全抵消。

这个时长的投资期就是：Macaulay duration。这是结论，1级用例题证明过，三级直接用结论：

当投资期=Macaulay duration时，债券的Price risk与Reinvestment risk相互抵消。

2.Price risk、Reinvestment risk与Macaulay duration、投资期之间的关系

所以，我们可以以Macaulay duration为一个分界点：

1. 当投资期等于Macaulay duration时，投资债券产生的Price risk和Reinvestment risk恰好完全抵消。
2. 当投资期小于Macaulay duration时（债券的投资时长较短，在债券生命周期中的前期），投资债券产生的Price risk大于Reinvestment risk。
3. 当投资期大于Macaulay duration时（债券的投资时长较长，在债券生命周期中的后期），投资债券产生的Reinvestment risk大于Price risk.

Hello，LizLiu，相关视频如下：

视频里老师没有写这道例题，实际上就是让债券的投资期等于它的Macaulay duration，然后分别假设利率不变、降低、上升；三种情况各算了一个收益率，发现收益率都为期初购买债券时的YTM。

如果要看原版书的话在：279-281。下面把原版书的主要几步证明方式，可以参考下：

债券的Macaulay duration = 7，然后这里让投资期等于7；第一种情况是假设利率不变，仍然是购买债券时的YTM10.40%

然后算了下Coupon本金及再投资收益；算了下期末卖出价；最后算出Total return = 10.40%

第二种情况是假设利率涨到了11.40%，然后重复上面步骤算了Total return = 10.40%

第三种情况是假设利率下降到9.40%，算了Total return是10.40%

最后发现，让投资期等于Macaulay duration，无论利率涨跌，最后投资债券的收益都是10.40%，是期初购买债券时的YTM10.40%；也就是利率变动，不会影响到债券的投资收益。