In Dur matching, a portfolio is immunized only once?

在总结一下：

我们期初构建的免疫策略就是保证利率变动之后，资产的变动和负债的变动同步，所以资产负债Match；

所有构建好之后，利率变动一次，免疫成功，资产变动大小和负债变动大小Match；

但回想一下，期初构建的单期负债免疫策略要满足以下三个条件：

1. PV asset = PV liability
2. 资产Macaulay duration等于投资期，（而投资期又等于负债的Macaulay duration）
3. 资产的Convexity最小；

所以利率变动一次之后，PV asset仍等于PV liability；

关键问题是利率变动之后，资产的Macaulay duration会变，会不再等于投资期；所以不满足免疫条件，无法保证下次利率变动还免疫。

举个例子：

期初构建好了免疫策略，构建好的那一瞬间，利率就发生了变动，此时资产负债变动一致达到免疫效果，但是此刻资产的Macaulay duration会立即发生变动，而投资期还没变；所以Macaulay duration不再等于投资期，此时无法满足免疫条件，虽然期初抵御了一次利率变动，但是无法保证下次免疫。

如果要让下次免疫，就得重新调整资产的Macaulay duration使得重新等于投资期；

为什么利率变动，Macaulay duration会变？

因为Macaulay duration计算时用到了折现率，利率会影响到Mac.Duration大小。

Macaulay duration是债券现金流发生的平均时间概念，他会随着时间的变化而变化，也会随着债券现金流的变化而变化，所以即便利率没变，随着时间流逝，Mac.Duration也会逐渐降低，而且关键的问题是Mac.Duration和投资期的变动速度不同步，所以慢慢的两者就会有差距，就不再满足免疫的条件。

所以即便利率没变，Macaulay duration也会逐渐偏离投资期。

总结一下：

第一点，利率变动一次之后，资产的Macaulay duration变动，不能保证其Macaulay duration仍等于投资期。

第二点，即便利率不变，资产的Macaulay duration和投资期的变动速度不同步，会逐渐有差距，不能保证满足免疫条件。

所以就需要在利率变动后，或者定期调整资产

我们以匹配单期负债为例；多期负债可以看成是多个不同期限单期负债的“累加”，所以原理是一样的。

假设有一笔3年后到期的单笔负债，到期值为100万；

现在想找到资产进行投资，使得资产在三年内可以实现一个稳定的收益，最终达到100万的数值，然后负债到期时偿还负债。

假设这个稳定的收益是10%；那么站在现在时刻，我们可以准备75万元；

然后进行三年复利，最终达到100万，到期偿付负债；

所以到期能否实现这个10%的收益就决定了到期能否偿付负债；

因此这个10%的收益越确定，就越能保证到期满足负债；

而这个确定的收益率越高，则期初准备的资金就越少，进行高收益的复利最终达到100万。但在构建免疫策略时，往往用到的是高质量的债券，如国债，因为稳定性和高收益很难兼得，免疫策略就是较为保守的策略。

在构建免疫策略时，对于债券投资，在投资期内，利率的变动会影响到债券的投资收益，所以这个10%的收益能否实现，完全要看收益率变动的影响；

如果利率升高，负债到期时，Coupon在投资期间的再投资收益上升，但卖出债券时会产生Capital Loss；那么投资期间能否实现10%的收益就不能确定；

如果利率降低，负债到期时，Coupon在投资期间的再投资收益下降，但卖出债券时会产生Capital Gain；那么投资期间能否实现10%的收益就不能确定；

发现再投资收益上升、下降和卖出债券时的Capital gain/Loss有相反的方向；如利率上升，再投资收益上升，但是有Capital Loss；如果利率下降，再投资收益下降，但是有Capital Gain。两种可以相互抵消。

一个结论就是：当投资期Investment horizon = 债券Macaulay duration时，再投资收益就与Capital gain/Loss的大小相等，即两者的影响就可以完全相互抵消。如果抵消掉了，就能确保债券在投资期间内，利率的变动不会影响最终的投资收益，因为可以满足一个稳定的收益。

所以：投资期Investment horizon = 债券的Macaulay duration是实现稳定收益的关键；而实现稳定投资收益又是实现免疫的关键。

回想Macaulay duration衡量的是债券现金流发生的加权平均时间；

权重是现金流现值占总现金流现值的比例；既然Mac.Duration的计算涉及到现值，那么利率的变动就会影响到债券Macaulay duration的大小；

那么问题就来了，假设期初构建好了免疫策略：

Investment horizon  = 资产的Macaulay duration；

此时瞬间发生了利率变化，那么资产的Macaulay duration就变动了，而Investment horizon没有变化，此时就不满足免疫的条件了；

因此本次利率变动就打破了免疫的条件。

此外，Investment horizon等于资产的Macaulay duration只是在期初构建时相等；随着时间的流逝，哪怕利率不变，两种并不是时刻相等的，因为两者变动的速度不一样；

所以综合以上，构建好的免疫组合，目的就是当利率变动时，能够保证资产仍能实现一个稳定的收益，到期实现收益增长满足负债；利率变动一次，确实保证了组合的收益不受本次变动影响；但是当利率变动一次，组合就不再满足免疫的条件了，因为Investment horizon不再等于Macaulay Duration；也就不能保证下一次利率的变动仍能免疫.

因此利率变动一次后，为了保证下一次能够继续免疫，就需要调整组合使得重新达到免疫的条件；

或者哪怕利率不变，随着时间的变动，也需要调整组合使之重新达到免疫的条件；

具体多久调一次，要看Benefit和Cost的分析，视情况而定。