duration matching

Option-free bond 不含权债券的收益率-价格曲线，是一个凸向远点的曲线（Convex）。

下图蓝线所示，为债券的收益率价格曲线，凸向原点。如下图，横轴利率由1降到2，纵轴债券价格由3升到4。

当收益率（利率）变动幅度较小时，曲线的变动可以近似的用直线代替；所以这时候，债券利率价格关系，可以用线性关系Duration衡量，即曲线的切线。

对应下图红线，收益率在横轴1点附近小幅度的变动，债券的价格变动幅度，可以直线衡量：

所以当债券处于Yield-Price线（蓝线上）的不同点时，对应的切线（Duration）的不同，一个Yield/Price对应一个Duration值；

考虑上图，蓝线是Liability (Portfolio)的Yield-Price图，红线是Asset （Portfolio）的Yield-Price图。

做Match时，要求Duration相等，对应的就是A点，Asset portfolio 与 Liability portfolio的Duration相同，图形上反映他们有相同的切线Duration（绿线）；

当收益率从A变到了B，蓝线红线，会变化出不同的切线（Duration），此时Asset Duration与Liability Duration不再相等。

需不需要Rebalance需要做Cost和Benefit的Trade-off

结合上图，联系一下匹配Single-liability时，把Liability看成是Zero-coupon bond，最优的策略是选择一个期限相同的ZCB去Match，如蓝线是Liability的Yield-Price图形，那用相同的ZCB去Match，其实是Asset,liability的Yield-Price图形完全重叠，利率怎么变，都不影响Match。

而债券Yield-Price图形，凸向原点的程度，反映了Convexity大小；曲线越平展，Convexity越小，如上图红线对应的Bond convexity大于蓝线对应的Bond convexity。

如果蓝线是Single Liability，那么匹配要求红线Asset的Convexity要尽可能的小，所以实际上还是使得红线尽可能的贴近蓝线，达到Match;

如果蓝线是Multiple liability，那么红线Asset的Convexity要在大于Liability convexity的基础上尽可能的小，实际上也是使得红线尽可能的贴近蓝线。