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Never · 2025年07月06日

Interest Rate - KMF Model

老师,想问一下,何老师在课上指出KWF model 的缺点是interest rate 是log normal distribution ,因此会在右边有异常值的情况。可是,在normal distribution 的情况下,是不是左右两边都有异常值的情况?如果是,那么这一个缺点是不是适用于所有distribution? 谢谢



1 个答案

吴昊_品职助教 · 2025年07月07日

嗨,努力学习的PZer你好:


你的问题简化为两个部分:

1、Normal distribution 的“尾部问题”是否是双边的?

是的,normal distribution 的尾部是双边的。

  • Normal 分布是对称的,均值两侧都逐渐趋近于零,但永远不为零。即:理论上它的支持集是 (−∞,+∞)。
  • 所以它确实存在两侧的“极端值”风险(extreme events)。

这意味着:normal distribution 会预测出非常小甚至负的利率值,这对金融建模是个问题。


2、既然 normal distribution 也有“尾部问题”,那 lognormal 的“右尾问题”是否是 KWF model 的特有缺点,还是所有 distribution 都有的共性问题?

虽然所有分布理论上都有尾部,但 KWF 模型中的 lognormal 分布的“右尾”影响更显著,原因如下:

①尾部不对称性

  • lognormal 分布是正偏(skewed)的,左侧贴近零,右侧拉得非常长 → 极端大值(outliers)更容易出现。
  • 相比之下,normal 分布是对称的,所以“极端值”的冲击相对平衡。

②尾部厚度不同(Fat Tails)

  • lognormal 的右尾比 normal 的更厚(heavier right tail),代表:极端高利率的概率被高估了。
  • 在定价利率衍生品(如 cap/floor, interest rate options)时,这种厚尾会让:
  • option 的价格过高(因为模型认为利率大幅上升的概率很大)
  • 与实际市场观察不符,造成错误定价(mispricing)

③防止负利率是优势,但也带来 bias

  • KWF建模 ln⁡(rt),确保 rt>0,避免负利率
  • 但代价是:极端高利率被高估 → “右尾”风险放大

总结:

所有分布都有“尾部”,但 lognormal 的“右尾厚尾”使得 KWF 模型对极端高利率的敏感性特别强,这在实际市场中是一个建模缺陷 —— 尤其在定价利率期权时,会高估利率上升风险。

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虽然现在很辛苦,但努力过的感觉真的很好,加油!

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