如果是折价发行的债券呢？

同样的问题，我问过了，发亮老师已经回答过了，我把答案贴这

1. 是的

Roll down return的本质来自于债券期限的缩短导致债券的折现率改变。在收益率曲线向上倾斜且不变的情况下，期初是一个长期债券，对应的折现率是曲线上长期较高的利率；

期末债券变成了一个短期债券，折现率是曲线上相对较低的利率。

期初折现率高，期初价格低，期末折现率低，期末价格高。

所以对应的Roll down return来自于这样的价差。而这个价差本质是因为期初与期末的折现率不同，而折现率的改变是在同一条stable的yield curve上roll down产生的。

而债券的折价or溢价向面值的回归，是债券在处理账面价值的方法。这种价差不算债券的price appreciation，这种价差是因为债券coupon与市场利率不同而给的补偿。只是债券利率的调整。

如，债券的coupon rate=5%，市场折现率=3%，由于债券的coupon rate更高，所以债券受欢迎，其价格自然会上升。于是债券溢价发行，那么债券溢价多少，其实就是和市场利率3%相比，债券每期多拿2%的coupon，则债券每期多给的2%coupon的折现值就是债券溢价的部分。

随着债券时间的流逝，这个溢价会慢慢地摊销（账面价值处理）。导致利债券的价格向面值回归。在这个过程里面，期初与期末债券的折现率始终没有变过，都是期初债券发行时的折现率。这里面没有体现出roll down return的精髓：在同一条yield curve上，由于期限的改变，折现率的roll down。这其实不是roll down return。

所以，溢价与折价向面值回归与债券的roll down return不存在联系。两个基本原理不一样。但是教材在这道题上有混淆。

只有一种情况债券的折价溢价向面值回归的收益等于roll down return的收益，两者可以当成一回事处理，那就是当收益率曲线是水平时。

在这种情况下，收益率曲线水平时，roll down return的期初与期末也是用同一个YTM计算。债券的折价or溢价处理也是用同一个YTM计算，所以两者可以当成一回事。

这道题的答案C，Zero coupon bond的价格向面值回归，其实是把折价债券的回归价差当成了roll down return，这个说法有一点不对哈。但如果加上一句，收益率曲线水平，那么选项C是完全正确的。

其他两个选项A,B都是错误的。

所以，只要收益率曲线向上倾斜且stable，无论是premium or discount or par，zero coupon bond or 带coupon的bond，其Roll down return均为正。

2. 我假设了个溢价债券，假设了在stable upward yield curve 上的数据，然后rolling return，算出来有两年是负的，本来看明白了，现在又晕了。

这个情况有可能出现。

用(P1-P0)/P0这个数据算，包含2部分价差。

一个价差是折价/溢价债券向面值靠拢的价差。这个价差不是capital gain or loss，而是对coupon的补偿，属于债券投资的利息。所以他不是roll down return，但却包含在我们算出来的结果里。

（P1-P0）/P0另外一部分价差就是真正的roll down return，即，在stable yield curve上，由于期初与期末的折现率YTM出现改变，从而导致期初与期末的价差。实际上的roll down return只包含这块，单纯由于期初、期末YTM改变的价差。

但是利用（P1-P0）/P0进行计算时，难免会包含折价、溢价的回归价差。

所以就有个问题，如果溢价债券向面值回归，产生的负价差足够多的话，可能会完全抵消掉roll down return的正价差，那么会使得（P1-P0）/P0算出来是个负数。也就是提问里面的问题。

如果真正要算roll down return的话，那么公式分子上的债券价格应该是这么算：

（P1-P0）-（期末账面价值-期初账面价值）

原因是哪怕YTM不变、维持一个恒定值，债券也存在价格向面值靠拢的价值，为（期末账面价值-期初账面价值），但这部分价差不是price appreciation变动，只是对利息的调整。

而直接用期末、期初价格算的（P1-P0）里面，既包含债券价格向面值回归，又包含折现率YTM改变的价差。

所以如果真正要算只有YTM改变的价差时，必须要把价格回归面值的部分扣掉，所以分子的债券价差是：

（P1-P0）-（期末账面价值-期初账面价值）

如果这么算的话，溢价债券的roll down return依然为正数。

这也对应一个话题，就是平时我们用期末价格P1减去期初价格P0来算capital gain，这么算其实也不准确。真正的capital gain应该是基于债券价格向面值靠拢后的账面价值，而非基于期初的价P0。

但实际在运算时，不做区分。

这块算roll down return也是，直接用期末价P1和期初价P0进行计算。不考虑哪些是账面价值的调整，哪些是YTM滑落带来的price appreciation。

我们统一认为，(P1-P0)/P0就是YTM滑落带来的roll down return。

具体到做题上，不用考虑这么复杂。就2种考法。

一个是题目直接给P1, P0，让算roll down return，就拿（P1-P0）/P0算即可。

第二个就是定性题目。题目可能会把债券价格向面值靠拢和roll down return混淆。

Roll down return是在stable yield curve上，由于债券期限变短，期初与期末的折现率在stable yield curve上滑落，导致折现率改变带来的价差。

而债券价格向面值靠拢，就单纯是期初与期末都使用同一个折现率，为债券购买时刻的initial YTM，这里不存在折现率YTM的滑落，不存在roll down这个过程。溢价债券价格下跌向面值靠拢，产生负的收益；折价债券价格上升产生正的收益，但这些收益不是roll down return的价差（但不可避免的出现在了（P1-P0）/P0里）。