ey101352 · 2025年04月15日
If an investor owned 20% of Big Firm and 80% of Small Firm, what are the expected profits of the investor and the standard deviation of the investor’s profits?
这个题目是书本后面的题目，在系统里面也有，解析的部分只有一个平方的期望减去期望的平方，完全没搞明白这样的table到底怎么算出来X1和X2的covariance和expected value的。需要非常细节的步奏，请不要跳过任何一个小步奏，谢谢！
李坏_品职助教 · 2025年04月15日
嗨，努力学习的PZer你好：
这题目首先计算 expected profits（就是利润的数学期望），利润的数学期望 = 20% * X1的期望 + 80%*X2的期望。
X1的期望 = X1每一种利润的数值 * 相应的概率 = （-50）*（1.97%+3.90%+0.8%+0.1%） + 0 + 10*（0.8%+12.7%+14.2%+6.68%）+100*（0 + 3.09%+6.58%+6.16%）=-50 * 0.0677 + 10*0.3438 + 100*0.1583 = 15.883.
X2的期望 = X2每一种利润的数值 * 相应的概率 = -1*（1.97% + 3.93%+0.8%+0）+ 0 + 2*(0.8%+12.6%+14.2%+6.58%)+4*(0.1%+2.99%+6.68%+6.16%) = -1*0.067 + 2*0.3418 + 4*0.1593 = 1.2538.
所以利润的数学期望 = 20% * X1的期望 + 80%*X2的期望 = 0.2 * 15.883 + 0.8 * 1.2538 = 4.18M
然后求利润的方差。利润的方差 = 0.2的平方 * X1的方差 + 0.8的平方* X2的方差 + 2 * 0.2*0.8*X1与X2的协方差。
X1的方差 = （-50-15.883）的平方 * （1.97%+3.90%+0.8%+0.1%） + （0-15.883）的平方*（ 3.93% +23.50% +12.60% +2.99%）+（10-15.883）的平方*（ 0.80%+ 12.70% +14.20%+ 6.68%）+（100-15.883）的平方*（ 0.00%+3.09% +6.58% +6.16%） = 1534.36。
X2的方差 = （-1-1.2538）的平方*（ 1.97% + 3.93% + 0.80% + 0.00%）+ （0-1.2538）的平方*（ 3.90% +23.50% + 12.70% + 3.09%）+ （2-1.2538）的平方*（ 0.80% 12.60% +14.20% +6.58%）+（4-1.2538）的平方*(0.10%+2.99%+6.68%+6.16%） = 2.411.
而X1和X2的协方差:
Cov(X1,Y2)=E(X1*X2) - E(X1) * E(X2)
前面已经求出E(X1) = 15.883, E(X2)= 1.2538.
而E(X1*X2)= ∑(表格里每个格子的概率*概率对应的X1*X2) = 1.97%*(-50)*(-1) + 0 + 0.8% * (-50)* 2 + ... = 43.22
所以X1和X2的协方差 = 43.22-15.883*1.2538 = 23.306.
最后，利润的方差 =0.2的平方 * X1的方差 + 0.8的平方* X2的方差 + 2 * 0.2*0.8*X1与X2的协方差 = 0.2的平方*1534.36+0.8的平方*2.411+2 * 0.2*0.8*23.306 = 70.375. 标准差 = 根号70.375=8.39
所以期望是4.18，标准差是8.39，选A。
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努力的时光都是限量版，加油！
