Macaulay duration的两种计算方法比较

the porfolio's Macaulay duration>average Macaulay duration是否成立？

成立。

收益率曲线向上倾斜时：Portfolio Macaulay duration > Average Macaulay duration（原版书以及讲义、押题就是这个情景。）

收益率曲线向下倾斜时：Portfolio Macaulay duration < Average Macaulay duration

收益率曲线水平时：Portfolio Macaulay duration = Average Macaulay duration

简单说一下为什么，3-year, 5-year 10-year组成的Portfolio，在算Portfolio Macaulay duration时，Portfolio会被当成一个大债券——长期债券对待。

这个Portfolio就是一个10年期Portfolio，只不过和真正的10年期债券相比，这个10年期portfolio在早期的cash flow会更大一些（因为有3-year和5-year债券存在，导致早期Cash flow大一点）

但整体来看，10年期Portfolio算出来的cash flow yield，即Portfolio Macaulay duration会比较大，因为组合的所有现金流都被当成10年期债券的现金流处理了，会比较接近于10年期债券的YTM及macaulay duration。例如，算出来的数据比较接近于7年期债券的YTM及7年期债券的Macaulay duration，会比较接近于长期债券的数据。

Portfolio的数据当成长期债券处理。

而Average Macaulay duration在计算时，就是各个债券YTM简单的加权平均，3年期债券的现金流就当成3年期，5年期债券的现金流就当成5年期，不会被当成10年期Portfolio的现金流处理。如果3-year和5-year的权重不小的话，整个portfolio的Average YTM及macaulay duration会比较小。会比较接近于短期债券的数据。

Average数据被当成相对短期债券处理。

这样的话，如果收益率曲线向上倾斜时，长期债券的数据更大，所以Portfolio macaulay duration，及Portfolio cash flow yield会更大

如果收益率曲线向下倾斜的话，长期债券的数据更小，于是portfolio macaulay duration及Cash flow yield会更小。

如果水平曲线的话，Portfolio数据和Average数据一致。

课上只是说二者不等，且曲线越陡峭，偏差更大。但是二者是否有大小关系呢？

取决于收益率曲线的形状。一般就是收益率曲线向上倾斜，所以portfolio的数据大于Average数据。