浮动利率债求value

浮动利率债券用二叉树算的时候，涉及2个概率哈。折现和算Exposure的概率不一样。

一个概率是求每一个Date的Exposure，如计算Date 4债券的exposure，or计算Date 3时，债券的Exposure，这个概率是站在整个二叉树的全局看的。

第二个概率是站在上一个节点看的，折现时用的概率，每一个节点向下一期延伸只有2个可能（2个树杈），要么up，要么down，所以每一个树杈的概率都是50%。

比如，参考上图，计算CVA的时候，要计算每一个Date的Exposure，而每一个Date的exposure是这个期限所有可能取值的加权平均。

例如，要计算Date 4的exposure，那就是给1120.80、1094.16、1076.31以及1064.34这4个数求加权平均。权重就是每个数的发生概率，这时候就得站在整个二叉树的角度找概率。

比如Date 4最上面的取值1120.80，这个数之所以能取到，就是因为Date 3最上面的节点利率8.0804%决定的，8.0804%这个利率的发生概率要考虑整个二叉树的全局，因为利率从Date 0开始，要在Date 1上升，且在Date 2上升，且在Date 3上升，才能实现8.0804%的概率。

那么它的概率是：Date 1上升概率50%×Date 2上升概率50%×Date 3上升概率50%=0.125。所以Date 4最上面取值1120.80的概率就是0.125

同理，Date 4从上面往下数的第2笔现金流1094.16，这个现金流是由Date 3从上往下数第2个利率5.4164%决定的。所以1094.16的发生概率就是Date 3第2个利率的发生概率。

实现5.4164%这个利率有3个路径，这3个路径的概率加总即为他的发生概率：

路径1：Date 1上升50% × Date 2上升50% ×Date 3下降50% = 0.125

路径2：Date 1上升50% × Date 2下降50% ×Date 3上升50% = 0.125

路径3：Date 1下降50% × Date 2上升50% ×Date 3上升50% = 0.125

加总为：0.375，这是Date 3第2个节点利率发生的概率，这个利率决定了Date 4第2笔现金流1094.16的发生概率，所以1094.16的概率就是0.375。

总之，再求Exposure时，每笔Cash flow的概率要站在二叉树全局来看。

所以Date 4的exposure为：

0.125×1120.80 + 0.375×1094.16+0.375×1076.31+0.125×1064.34=1087.07

这是算Exposure时，需要从整个二叉树全局的角度找概率。

但是当我们给二叉树的节点上折现时，这时候的概率只能以这个节点为单位来看。

如下图，想要把Date 3的1037.01和Date 3的1037.94折现到Date 2最上面这个节点。

这时候，是以Date 2最上面这个节点为参考系的，并不是以整个二叉树为参考系。

站在Date 2上面这个节点来看，向Date 3发展延伸就只有2种可能、2个树杈，如下图蓝框，要么上升，发生概率50%，要么下降，发生概率50%。

所以往Date 2最上面这个节点折现时，1037.01和1037.94的权重给为50%。

算Date 2最上面这个节点的折现为：

（1037.01×50%+1037.94×50% + 84）/(1+4.3999%) ≈ 1074.21

主要原因就是，往上一期的节点折现时，是以这个节点为参考系，并非是整个二叉树，只会使用下一期二个树杈的数据，在二叉树里面，每个树杈的概率都是50%，所以CF的权重都是50%