investment horizon=Macaulay duration，就可以了吗？

嗨，爱思考的PZer你好：

investment horizon=Macaulay duration，就可以了吗？

如题，我在这里感觉有点模糊，比如这道课后题，是否只需要满足这一个条件Macaulay duration=investment horizon，investment return就等于YTM？是否还需要满足其他的条件，比如对yield curve是否有要求？

还需要满足收益率曲线水平这个要求。

这是一个固收的问题，并非CME的重点。

在CME里，解决这类题目，如果题目没有明确说收益率曲线形状，就默认是水平的。

理由如下：

这个理解是需要从Macaulay duration的定义出发的。

在计算Macaulay duration的时候，我们一般是使用债券的YTM充当折现率，而YTM充当折现率有一个特点，就是他是一个Single discount rate，即，这是一个单一折现率，债券不同期限的现金流会使用同一个折现率进行折现，例如3年期债券如果用YTM进行折现的话，公式就是:

发现，不同期限的现金流，他们的折现率一致，都是YTM。

那假设3年期债券的YTM是3%，即3-year YTM = 3%，此时，折现公式对应这样：

注意，根据这样的折现公式，我们发现，最初只是知道3年期的YTM=3%，但是在给债券进行折现时，第1年的现金流Coupon1也使用了3年期的YTM这个折现率，第二年的现金流Coupon2也使用了3年期的YTM折现率。

那这里实际上是暗含一个假设：1年期的利率等于2年期的利率等于3年期的YTM = 3%。那这样的话，实际上就是默认，1,2,3年期的利率一样大，也就是呈现水平的利率曲线。

这就是用YTM充当折现率的一个特点：这是一个Single discount rate，single discount rate就是代表不同期限的现金流使用的折现率一样，所有期限折现率都一样了也就是默认利率曲线水平。

和YTM有区别的另外一个折现方法就是Arbitrage-free valuation framework，即，用Spot rate进行折现，这种折现方式是给不同期限的现金流使用不同的折现率。

例如，已知1-year rate=2%, 2-year rate=3%, 3-year rate = 4%，此时若用Spot rate进行折现的话，折现公式就是：

发现，这种折现公式实际上是：不同期限的现金流使用对应期限的利率折现，即折现公式里可能会出现很多个大小不同的折现率。这和YTM这种Single discount rate有巨大差异，用YTM折现的话，折现公式里只会出现一个折现率，即不同期限的折现率相等（默认不同期限的利率相等，利率曲线水平）。

理解完以上概念就可以回到Macaulay duration，这个Macaulay duration数值是使用单一折现率YTM进行折现算出来的：

在计算Macaulay duration这个数值时，我们会涉及到给债券的现金流进行折现，而折现时使用的就是YTM，所以是默认不同期限的现金流有相同的折现率，也就是默认收益率曲线水平。

所以Macaulay duration就是基于一条水平的Yield curve下的定义，于是在使用Macaulay duration的相关性质时，我们自然会默认收益率曲线是水平的，只有这样使用Macaulay duration才会有意义。

Macaulay duration有一个重要的性质就是：Macaulay duration = investment horizon时，实现immunization，Price risk与Reinvestment risk抵消。

即，我们以Macaulay duration为分界点，发生在Macaulay duration时间点以前的债券现金流，他们对应的Reinvestment risk，可以和发生在Macaulay duration时间点以后现金流的Price risk相互抵消。

由于Macaulay duration使用的是单一的YTM折现，所以在使用这个性质时，计算分界点以前的Reinvestment risk与分界点以后的Price risk时，使用的也是单一的YTM。于是，这个性质结论成立就是基于单一YTM（水平利率曲线）。

关于原版书这句结论，要理解的话实际上是综合了1,2级固定收益的内容，3级经济学这里是直接抛出了结论，并没有做过多的解释。另外在三级固收这块也是直接应用了这个结论。理解的话就是上面的解释：本质是由于Macaulay duraiton是基于YTM（单一折现率）下的概念，由于不同期限的折现率相等，所以是默认收益率曲线水平。

----------------------------------------------
努力的时光都是限量版，加油！