Um= E(R)- 0.5λσm2的由来

嗨，从没放弃的小努力你好：

同学你好：

我们假设，投资者会根据风险和收益的情况，为每个资产组合给出一个效用值分数。这个效用值叫做utility, 指的是投资者从事投资活动所获得的主观满足程度。同学们可以将它理解为满意程度或是爽度。

打个比方，你现在很饿，吃了第一个汉堡，你非常爽，很满意，吃了第二个之后，基本吃饱了，也还是很满足的，但是爽度肯定没有吃第一个汉堡的时候高，这时候如果再让你吃第三个，那就基本上没有什么爽度可言了，就好比，3块钱一瓶的可乐，第一口就值两块九。

所以，这个效用分数越高，说明这个资产组合越具有吸引力。那什么样的投资会让人满意度很高呢？当然是收益越高，同时风险越小的时候，投资者的满意程度越高，也就是说这个效用值就越大。

业界存在很多对这个效用价值的打分方法。

在投资学，以及CFA当中，我们应用的都是，效用函数（Utility function）

这个效用函数，可以根据投资者的风险厌恶程度和期望收益, 把个人的满意度，量化为一个具体的效用值, 并选择效用最大化的资产组合。

这个效用函数的公式如下：

Um= E(R)- 0.5λσm2

这个公式里，U 就是效用值，E（r）是预期收益率，A 是投资者的风险厌恶系数。σ（西格马）就是我们之前说过的，代表风险的标准差SD的符号，σ²(西格马的平方）叫方差variance，就是标准差的平方，因为标准差是有正有负的，所以在很多衡量风险的时候，给标准差加了一个平方，能够使结算的过程和结果都更容易理解。

所以能看出来，这个效用值就是用期望收益率，减去经过调整后的风险。

风险调整的方式，首先是用风险厌恶系数。

对于这个风险厌恶系数，每个投资者是不同的，这也导致了效用函数的不同。经济学将市场参加者的风险偏好分为三类，分别是风险厌恶、风险爱好和风险中性。在效用函数里面这个划分就由A的符号来决定。

当A>0时，表明投资者是厌恶风险的（risk adverse），意味着风险的增加，会使效用降低。并且随着A越变大，投资者就越厌恶风险。

当A=0时，表明投资者是风险中性的（risk neutral），风险的增加对效用没有影响。风险的高低对于风险中性投资者来说是无关紧要的, 这意味着他们对风险要求的补偿为零。

当A<0时，表明投资者喜欢追求风险，或者称之为风险偏好者（risk lover），风险的增加，反而会增加效用，因为风险越高，收益也越高。他们更愿意参加赌博。

所以风险厌恶的程度，是和效用值成反函数的，这也是为什么调整风险前面的符号，是减号。

对风险的调整，还有一个1/2 的系数，这只是一个约定俗成的数值，我们可以理解为投资者并不是讨厌所有的风险，这和我们之前介绍的损失厌恶的概念一致，盈利和亏损都是风险，投资者是喜爱盈利的，但同时讨厌损失，所以投资者真正厌恶的是，在收益率的波动范围内，低于均值以下的部分，所以会在风险厌恶系数的前面，再乘以一个1/2。

还有一点同学需要注意的是，在使用效用函数表达式的时候，这里的预期收益率E(r)和代表风险程度的标准差σ，必须采用小数形式而不是百分数，比如预期收益率E(r)是10%，在代入的时候要代入0.1，标准差σ是20%，就要代入0.2，最后算出的效用值U需要再将小数转换回百分数形式。

这个效用值的公式，同样表明了效用会随着期望收益的增加而增加，以及随着风险的减少而增加，这和我们正常的理解，也是一致的。

这里要注意的是，无风险资产的效用值就是其自身的收益率, 因为无风险资产的风险补偿为零，所以也不需要对风险和收益进行调整和权衡了。

 对于风险资产来说，代表风险的方差σ 如果降低的话, 那风险资产效用值的程度，则由风险厌恶系数A来决定。

投资者对风险厌恶程度越高(也就是A越大), 对风险要求的补偿就越高。投资者会在投资产品中选择其效用值最高的组合。

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