课后题Liability driven章节9-16

嗨，努力学习的PZer你好：

1 liability due in 9years 他这句话是investment horizon是9年的意思吧，能直接等价于MacuD为9吗？

可以等价。这是single liability，即只有一笔现金流发生在第9年年末，相当于是一个9年期的零息债券（负债）

所以负债的Maturity=9，对于零息债券来讲，Macaulay duration就等于Maturity。因为Macaulay duration衡量的就是现金流发生的平均时间，零息债券就只有1笔现金流发生在期末Maturity时刻，所以现金流发生的平均时间macaulay duration = maturity一定成立。

9年后到期的单期负债，他的macaulay duration肯定等于9=maturity

说单期负债的到期日，实际告诉的信息就是macaulay duration

其他付息债券的Macaulay duration小于债券的期限

 2.表格里给了几个组合的凸性大小，我总觉得也应该给一个liability的凸性诶？不然怎么知道有没有包住呢？

这是做单期负债匹配哈，单期负债匹配时，债券资产的convexity肯定大于负债的convexity。原因是单期负债就只有一笔现金流发生，可以看成是零息债券。而零息债券的convexity是同类型里面最小的。

一堆期限相同的债券放在一起，如9年期付息债券和9年期零息债券放在一起，9年期零息债券的convexity肯定最小，因为9年期零息债券的现金流最集中，只有一笔就集中在macaulay duration=maturity这点上。

我们说债券的现金流越分散，convexity就越大，这里的越分散实际就是指现金流偏离macaulay duration的程度，现金流越是偏离macaulay duration，债券的convexity就越大。所以回头看零息债券，发现他的现金流就发生在macaulay duration=maturity上，现金流就不分散，最集中，所以他的convexity肯定是在一堆9年期债券里最小的。

有个结论就是：在duration（macaulay duration）相等的情况下，零息债券的convexity最小。

所以在构建single liability duration matching时，用macaulay duration = 9的付息债券组合去match 1个零息负债single liability，那这个债券组合的convexity肯定要大于负债的convexity。

在单期负债匹配这块，由于资产负债的macaulay duration相等，且由于负债的convexity肯定最小，那债券资产的convexity肯定大于负债的convexity，所以在单期负债匹配时，我们就不看这个要求了，直接找资产convexity尽可能小的，无论资产的convexity怎么小，他肯定还是大于负债的convexity。

除非就是直接找一个9年期零息债券资产去match 9年期single liability，此时的convexity也只是刚好相等。

但是再进一步，rA和rL其实也要相等吧，能进一步推出Modified Duration也相等吧？那是否也能说MD相等呢？

是的，Macaulay duration相等，资产、负债的折现率相等，所以可以推出来Modified duration相等。但是这块就是专门考单期负债免疫条件的，就是区分这几个duration的应用，所以一定要从基础原理出发，对于单期负债免疫要选择macaulay duration哈，其他条件还不行。

----------------------------------------------
加油吧，让我们一起遇见更好的自己！