Putable bond利率上升的时候，变得more convex怎么理解？ convex这个概念一直不太理解。

嗨，爱思考的PZer你好：

如上图，蓝色的线代表债券价格与收益率之间的关系；

红线是Price-Yield的线性关系，就是我们经常用duration近似表达的债券价格与收益率的关系。

发现在收益率变动范围很小的情况下，红色的线几乎可以替代蓝色的线。

这就是为什么收益率变动小的时候可以只用duration衡量债券价格变动。

黑色的虚线是Convexity更大的债券的线，convexity具有涨多跌少的特性，发现对于黑色虚线的这只债券，收益率下跌时，价格涨得更高；收益率上升时，价格跌得没那么惨。

我们把债券收益率曲线凸向坐标轴原点这种特性叫做convexity；

越凸向原点，Conveixty越大，所以黑色虚线bond的Convexity大于蓝色线bond的convexity

这是普通债券的Price-Yield的图形；

对于含权债券来说，callable的Price-yield图形如下：

蓝色线是普通债券的Price-Yield曲线；

当收益率较高时，callable bond的曲线和普通债券一样，用蓝色线表示；

当收益率较低时，callable bond的价格收益率曲线是红色的线；原因就是有行权价的存在，callable bond的价格不可能像普通债券一样涨那么高。

callable bond的价格，不可能高过行权价，如果继续是positive convexity的话，曲线图势必会穿过行权价代表的虚线；所以callable bond的价格收益率曲线在收益率较高时，开始变成negative convexity，并且收敛于行权价。

同理，蓝色的线代表普通债券的Price-Yield曲线图；

当利率较低时，普通债权和putable债权的曲线图一样，用蓝线表示；

当利率较高时，putable bond的曲线图是红色部分；

原因就是，对于putable bond；由于行权价的存在，当收益率上升时，putable bond的价格不可能低过行权价。

所以对于putable bond，其收益率曲线更加凸向原点，convexity更大，才有可能价格不穿过行权价。

这就解释了在利率降低时（尤其是债权价格临近行权价时），callable bond呈现出negative convexity（也就是convex）；

对于putable bond，当利率上升时，convexity更大。

convexity是笑脸，凸向原点，convex是哭脸，曲度增加的意思。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！