discount的拐点处 那个时间是什么导致发生转向

嗨，从没放弃的小努力你好：

这个主要是因为：当期限N一开始逐渐增大时，discount bond的macaulay D大于perpetuity。但是当N继续扩大到一定数值时，discount bond的macaulay D会无限逼近于perpetuity。具体公式可以参考：https://www.sohu.com/a/231151770_100150444

首先，macaulay D的公式可以变形为：

先来看一下：

由于N不小于0，所以分母永远是正数；由于折价债券的c＜r,因此分子上的中括号部分［N×(c－r)］为负数，分子1＋r＋［N×(c－r)］为负数，此时：，也就是此时discount bond的久期位于perpetuity的久期上方。

但是这个上升不会一直持续。

如果N继续扩大，当：的时候，也就是

此时 discount bond与perpetuity bond的macaulay D相等。

所以一开始的discount bond的久期会超越perpetuity，但是达到一定的期限时，又会拐头收敛于perpetuity。

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