AR（p）模型

嗨，努力学习的PZer你好：

那个是用yulewalker方程推导的，过程比较复杂，我大概写下

Yule-Walker方程是用来计算AR(p)模型的自协方差函数（ACF）的一组方程。根据Yule-Walker方程，AR(p)模型的自协方差函数可以通过解线性方程组来获得。

假设我们有一个AR(p)模型的时间序列数据X_t，其中t=1, 2, ..., n。AR(p)模型可以表示为：

X_t = c + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_p*X_(t-p) + ε_t

其中，c是常数，φ_1, φ_2, ..., φ_p是模型的参数，ε_t是白噪声误差项。

根据Yule-Walker方程，AR(p)模型的自协方差函数满足以下方程：

γ(0) = φ_1γ(1) + φ_2γ(2) + ... + φ_pγ(p)

γ(1) = φ_1γ(0) + φ_2γ(1) + ... + φ_pγ(p-1)

...

γ(p) = φ_1γ(p-1) + φ_2γ(p-2) + ... + φ_p*γ(0)

这组方程可以用矩阵形式表示：

Γ_p * φ = γ

其中，Γ_p是一个大小为p×p的矩阵，φ是一个包含AR(p)模型的参数的向量，γ是自协方差函数的向量。

解这个线性方程组可以得到AR(p)模型的参数φ，进而可以计算出自协方差函数γ。通过自协方差函数，可以得到AR(p)模型的方差。

这俩不太一样。使用Yule-Walker方程计算AR(p)模型的方差是更准确和严格的方法，因为它考虑了时间序列的自协方差函数和参数的关系。而使用简单的方差定义推导出的方差表达式可能不考虑模型中参数之间的相互作用。

Yule-Walker方程是建立在自协方差函数的基础上的，通过解线性方程组来计算模型参数的估计值。这种方法可以考虑时间序列中的自相关性，使得估计的方差更准确。它通过最小化残差的均方差来确定参数估计值，从而得到更准确的模型描述。

而直接使用方差定义计算的结果可能没有充分考虑模型中参数之间的复杂关系，因此可能会导致与Yule-Walker方程的结果不一致。

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加油吧，让我们一起遇见更好的自己！

嗨，努力学习的PZer你好：

方差可以用定义求，AR（P）的公式不是考察重点。但是AR（1）的需要记一下。至于推导，FRM考试不考推导，我大概推下，您明白含义即可

对于AR(p)模型：

X_t = c + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_p*X_(t-p) + ε_t

其中，ε_t是白噪声误差项，它满足ε_t ~ N(0, σ^2)，表示均值为0、方差为σ^2的正态分布随机变量。

我们可以将AR(p)模型表示为一个递归形式：

X_t = c + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_pX_(t-p) + ε_t

= c + φ_1(c + φ_1X_(t-2) + φ_2X_(t-3) + ... + φ_pX_(t-p-1) + ε_(t-1)) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_pX_(t-p) + ε_t

= (c + φ_1c + φ_2c + ... + φ_pc) + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_pX_(t-p) + (φ_1ε_(t-1) + ε_t)

= μ + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_p*X_(t-p) + ε_t

其中，μ表示模型的均值，由于ε_t是均值为0的白噪声误差项，因此μ = (c + φ_1c + φ_2c + ... + φ_p*c)。

现在我们来计算AR(p)模型的方差。我们假设X_t的方差为Var(X_t) = σ^2。

将AR(p)模型带入方程可以得到：

Var(X_t) = Var(μ + φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_pX_(t-p) + ε_t)

= Var(φ_1X_(t-1) + φ_2X_(t-2) + ... + φ_pX_(t-p) + ε_t)

= Var(φ_1X_(t-1)) + Var(φ_2X_(t-2)) + ... + Var(φ_p*X_(t-p)) + Var(ε_t)

= φ_1^2 * Var(X_(t-1)) + φ_2^2 * Var(X_(t-2)) + ... + φ_p^2 * Var(X_(t-p)) + Var(ε_t)

= φ_1^2 * Var(X_t) + φ_2^2 * Var(X_t) + ... + φ_p^2 * Var(X_t) + Var(ε_t)

= (φ_1^2 + φ_2^2 + ... + φ_p^2 + 1) * Var(X_t) + Var(ε_t)

因此，我们可以得到AR(p)模型的方差的表达式：

Var(X_t) = Var(ε_t) / (1 - φ_1^2 - φ_2^2 - ... - φ_p^2)

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！