duration match

如果要Match一个Liability，有一个最好的方法，就是直接买一个Zero-coupon bond。负债的到期日，债券恰好到期，此时现金流恰好能够满足Liability。

因为零息债券的Macaulay duration等于其maturity，所以此时，持有至到期的零息债券，投资期investment horizon就等于零息债券的Macaulay duration；由于投资期就是为了到期日是match liability到期日，于是此时：investment horizon等于Macaulay duration等于liability到期日。

这是最简单的理解 Macaulay Duration = investment horizon = liability到期日完美match的方法。

注意：上面持有至到期的是零息债券，由于持有至到期，所以没有Price risk，由于没有期间现金流，所以没有reinvestment risk。所以，无论市场利率怎么变动，都不影响ZCB去match liability。

但问题是，如果我们用的是付息债券去match liability呢？尤其是债券在到期前就要卖出满足liability的情况。

如果利率上升，债券价格会下跌，所以不持有至到期的卖出，卖出债券会有一定的Capital loss。同时由于利率上升，期间收到利息的再投资收益，Coupon reinvestment收益增加。所以在利率上升的情况下，这段期间持有债券的收益就是不确定的。

如果利率下降，债券价格会上升，所以不持有至到期的卖出，卖出债券会有一定的Capital gain。同时由于利率下降，期间收到利息的再投资收益，Coupon reinvestment收益减少。所以在利率下降的情况下，这段期间持有债券的收益就是不确定的。

无论利率上升还是下降，债券的投资收益都是一个不确定的数，于是用不确定的收益去match liability是不靠谱的。

但是发现，不管利率上升还是下降，债券收益中的 capital gain/loss部分，和债券收益中的coupon reinvestment收益变动方向是相反的。所以如果能让债券capital gain/Loss恰好等于coupon reinvestment的收益，两者相互抵消。那就是说不论利率怎么变动，都不会影响这段期间持有债券的收益。我们就会得到一个确定性的债券投资收益。

这边有个结论：当债券的投资期等于债券的Macaulay duration时，他的price risk和reinvestment risk恰好抵消。所以当债券的投资期等于债券的Macaulay duration时，不论利率是涨是跌，我们能得到一个确定性的债券投资收益。

所以当我们知道未来有一个liability要去满足，我们就让债券的投资期等于liability的到期日，为了让债券的收益确定，我们让债券的投资期等于其macaulay duration。

于是：Macaulay duration等于investment horizon等于liability到期，就可以完美的match liability了。

之前有个类似的提问：

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