关于期望特性的问题

嗨，努力学习的PZer你好：

额，同学如果看不懂连加的话，我试着给您举个栗子好了，假设有X和Y两个随机变量，X取值有X1，X2，Y 有Y1和Y2，我们就简单点，X有2种取值，Y也有2种取值，之后如果上升到N种取值时原理一样，我就不写那么复杂了，我大概证明下，同学看明白原理就行。

根据我们的描述，可以得到下图

其中X1的概率是P(X1,Y1)+P(X1,Y2)

x2的概率是P(X2,Y1)+P(X2,Y2)

Y1和Y2我不写了，就是上图种最下面那行的2个

我们对X求期望，E(X)=X1*P(X1)+X2*P(X2)=X1*P(X1,Y1)+X1*P(X1,Y2)+X2*P(X2,Y1)+X2*P(X2,Y2)

同理可以写出E(Y)=Y1*P(X1,Y1)+Y1*P(X2,Y1)+Y2*P(X1,Y2)+Y2*P(X1,Y2)

接着我们写下E(X+Y)=(X1+Y1)*P(X1,Y1)+(X1+Y2)*P(X1,Y2)+(X1+Y2)*P(X1,Y2)+(X2+Y2)*P(X2,Y2)

把E(X+Y)展开后可以写出(X1+Y1)*P(X1,Y1)+(X1+Y2)*P(X1,Y2)+(X1+Y2)*P(X1,Y2)+(X2+Y2)*P(X2,Y2)=X1*P(X1)+X2*P(X2)=X1*P(X1,Y1)+X1*P(X1,Y2)+X2*P(X2,Y1)+X2*P(X2,Y2)+Y1*P(X1,Y1)+Y1*P(X2,Y1)+Y2*P(X1,Y2)+Y2*P(X1,Y2)

这个就是E(X)+E(Y)

当然这个是每个随机变量只有2个数，推广到多个数也一样。当然这个证明不要求掌握，只用第二条是个定理，直接用即可，就跟勾股定理一样，小学就会用，但是证明的话需要到高中学了余弦定理。FRM只要求会用这条定理即可，要证明是需要学了微积分和概率论之后

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！

嗨，从没放弃的小努力你好：

2.

5.

令X为a1,a2,...an

aX=aa1,aa2,...aan

E(aX)=(a*a1+a*a2+..a*an)/n=a*[(a1+a2+a3+...an)/n]=a*E(x)

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