DB plan的immunization问题

嗨，爱思考的PZer你好：

那是不是可以理解为，例如相对于portfolio A ，portfolio B 的 key rate duration（partial BPV）更接近于liability，虽然A的convexity 大于B （他们都满足cover liability convexity的条件），选择A更为适合？因为虽然A的convexity 大于B，但由于A的key rate duration（partial BPV）与liability更像，所以A 更适合？

同理，如果A 和B 的 ≥ MV liability，convexity也都大于 liability convexity, 但A的convexity >B的convexity。但BPV （A）更接近 BPV liability。那么在positive butterfly的利率变化情况下，是否选择A 最合适，因为相较于B来说，A与liability更像？ 还是说不管什么情况，选择convexity cover liability convexity，且min convexity是先决条件？

实际上没有提问里说的这么复杂。并不会出现资产、负债key rate duration相似的情况下，资产的convexity还远离负债的convexity。

如果资产的key rate duration与负债的key rate duration相近，那可以保证资产的convexity一定非常接近负债的convexity。

本质原因是：最终影响key rate duration与影响convexity的因素都是同一个，就是现金流的分布。

具体来说是这样：

决定portfolio key rate duration（partial PVBP）的因素，本质还是债券的现金流，也就是说，债券对单个利率点位的敏感度，是由债券在该利率点位的现金流大小所决定的，如果债券在该利率点位的现金流越大，则债券对该利率点位的敏感度（key rate duration）就越大。

比如，portfolio在5-year的现金流分布很大，那就决定了这个债券的5-year key rate duration很大，对5年期利率的敏感度很大。

那如果资产各个利率点位的key rate duration与负债各个利率点位的key rate duration接近的话，说明资产和负债的现金流分布情况也很接近。

在这里别忘记，convexity本质也是由现金流分布引起的。我们学的一般结论是现金流分布越分散的话，convexity越大。

换个角度想一下，当资产和负债的现金流分布状况越相似的话，说明资产、负债的现金流分散程度越相近，也就说明资产和负债的convexity越接近。

所以，资产、负债各个利率点位的key rate duration接近 → 说明资产、负债的现金流分布状况接近，即，资产、负债的现金流分散程度接近 → convexity的大小由现金流的分散程度决定 → 资产负债的convexity大小非常接近

所以，选了key rate duration与负债接近的资产，本身也能保证资产与负债的convexity一定也非常接近。所以，并不会出现提问里说的情况，资产、负债key rate duration接近， 而资产、负债的convexity比较远离。

本身资产、负债key rate duration接近的话，就说明资产、负债的现金流分布程度越相似，也就决定了资产、负债的convexity越接近。

最终判断的话，决定性的判断标准，还是前面的3个标准（BPV相等，资产MV大于等于负债MV，Convexity）

只是出现一些利率butterfly movement的话，以上3个条件有可能无法保证免疫，所以还要额外参考key rate duration。

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嗨，努力学习的PZer你好：

想请教一下老师，如果题中是positive butterfly的利率情景，题目中给出barbell， bullet 和laddered三种不同的bond，问哪个做immunization最合适。是不是选择laddered最好？不过这样不就和structural risk有点矛盾了吗？ 因为bullet 的convexity 肯定是小于laddered（假设其他的immunization条件都满足）

还不一定是Laddered最好。这个得要看负债是啥样的现金流分布。

比如，负债自己就是一个barbell，负债在第3年和第30年到期，短期和长期权重大。

那这时候用Laddered asset匹配并不好。

因为当Positively butterfly发生时，中期利率下降，短期、长期利率上升，这种变动会导致负债的value大幅下降。

而Laddered资产的变动就比较均衡，不会发生大幅下降。这种不满足资产与负债变动同步的要求，属于一个效果不好的immunization。

同理，发生negative butterfly时，负债价值大幅上升，而laddered资产的价值不会大幅上升，于是导致资产与负债匹配也不同步。

所以，有非平行移动时，匹配效果最好的，就是和负债现金流分布长的最像的资产，负债是laddered，那资产就是laddered；负债是barbell，那资产就是barbell；负债是bullet，那资产就是bullet。如果要精确匹配的话，就得看资产和负债的partial duration是否匹配（目前没见过给partial duration让做Immunization题，也没有见过从负债barll/bullet的角度去做immunization的题，目前见到的题都是给负债的综合指标：BPV和convexity，所以这里的讨论大概有个感觉就OK）。

在多期资产负债匹配的时候，并不是说让资产的convexity越小越好，而是让资产的convexity数值与负债的convexity数值越接近越好（让资产的convexity大于负债convexity的基础上，要求Minimize asset convexity，其实本质就是在要求资产的convexity尽可能接近负债的convexity）

在资产、负债duration一致的情况下，让他们的convexity尽可能接近，就是让他们的现金流分布状态越接近，以保障非平行移动时尽可能表现一致。

因为多期负债在匹配时，构建的资产一定会导致资产的convexity大于负债的convexity，这个无法避免。所以我们再额外要求minimize asset convexity，就是在尽量追求资产convexity接近负债convexity。

所以，所谓的找asset convexity最小的资产，其实是以liability的convexity为benchmark，找asset convexity尽可能接近的。

对于一个ladderd的负债，bullet asset虽然convexity在绝对数上最小，但bullet肯定不合适做匹配，因为bullet asset的convexity太小了，小于负债laddered的convexity。最合适的其实是laddered asset，因为laddered asset可以保证在asset convexity > liability convexity的基础上，又能保证asset convexity尽可能小。

对于一个bullet liability，最好的是bullet asset去匹配，因为barbell和laddered convexity太大了。

而对于一个Barbell liability，最好的是barbell asset去匹配，因为Bullet/laddered的convexity太小了，小于barbell liability的convexity，不满足条件。而barbell asset会保证asset convexity > liability asset，我们再寻找convexity最小的barbell asset。

以上的落脚点发现，其实都是在分析资产和负债的convexity大小，都是让资产的convexity尽可能接近负债convexity。所以最后我们不用管负债的现金流是啥分布，资产的现金流是啥分布，就盯住convexity的大小分析就行。让convexity满足条件，就能保证基本上绝大多数的匹配都成功。

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