如图

嗨，爱思考的PZer你好：

严谨的数学推导可以看这个连接：https://www.zhihu.com/question/371912855/answer/2391978866?utm_id=0

我概括一下，久期的表达式：

当c > r时，债券是premium（溢价），减号后面那一项大于零，所以premium bond的久期一定小于(1+r)/r。

当c小于r时，债券是discount（折价），减号后面那一项小于零，所以discount bond的久期一定大于(1+r)/r。

所以discount bond的曲线高于premium bond。而且所有债券的久期都是一开始随着Maturity的增大而上升，但是不会无止境上升，最终还是趋近于永续债券(perpetuity)的久期(1+r)/r，所以Discount bond的曲线是先上升后下降。

----------------------------------------------
就算太阳没有迎着我们而来，我们正在朝着它而去，加油！

嗨，努力学习的PZer你好：

清晰的图应该是这样的（perpetuity表示永续债，Discount bond指的是折价债券，Premium bond指的是溢价债券）：

----------------------------------------------
加油吧，让我们一起遇见更好的自己！

嗨，爱思考的PZer你好：

这个图横轴表示债券的期限，纵轴表示债券的麦考雷久期（Macaulay Duration）。

对于普通债券，到期期限越大，久期越长。但是久期不可能无穷大，久期的上限就是永续债券的久期：(1+y)/y。

所以在永续债券那个横线下方的premium的曲线，表示的是溢价债券（就是发行价格大于面值）的久期变化。

横线上方的discount的曲线，表示折价债券的久期变化。

zero-coupon零息债券的Macaulay Duration就等于期限，所以zero-coupon的图是一条直线。

----------------------------------------------
加油吧，让我们一起遇见更好的自己！