按照老师的end计算的方法，我认为红色部分求出来的PV是第17年年初的PV，因为学费是年初交的。所以不等于蓝色的第17年年末的FV。我认为应该是红色求出来的PV再乘以（1+5%）就是pv*（1+5%）才是蓝色部分的FV，这里我不太理解老师说的就直接相等了，为什么呢？因为还有年初年末的问题啊，请老师解答。
星星_品职助教 · 2021年11月14日
同学你好，
1）这道题的关键是确定付款时间点。题干中的这种说法是一种固定的描述，意思是这四笔现金流就确定发在18,19,20,21四个时点。当付款时间点已经确认后，是否是先付年金就不重要了（先付年金的目的是确认PMT的付款时点，但此时时点已经确认了）。
2）如果这道题里说学费为后付年金，会发现解题思路是一样的。无论先付后付，题干都限定了付款时间点就是18,19,20,21四个时点。只要时点限定，解题方法就一样。
3）此时应用END的方法，这四笔现金流就会折现到17这个时间点上。这个点就是时间轴上的17时点（17年末）。同样要从时点的角度去理解，而不需要考虑先付后付。
4）如果不从首笔现金流发生在18时点考虑，换一个简单的模式。正常的4年后付年金的四笔PMT如果确认在1,2,3,4这四个时点发生。最终求现值是折现回0时点。套用这个模式，四笔现金流发生在18,19,20,21四个时点，折现就是回到17时点这个点上的。
5）时间价值问题中不会出现类似你描述的 折算后再去调整时间点（即“再乘以（1+5%）”） 的这种问题。所有的题目都是直接折现的。是哪个点就是哪个点，不用继续调整。
星星_品职助教 · 2021年11月14日
@shuangzili
先付年金和后付年金明确的是PMT是在年初付还是年末付。这个是要来决定PMT付款的时间点的。例如这道题（原版书R1，Q17）
类似这道题的条件意思就是首笔PMT的付款时间在0时刻（如果是后付年金，付款时刻是在1时刻）。所以，先付年金条件的用处是来确定PMT时点的。
这道题不用考虑先付还是后付的原因是在于PMT时点已经确认好了。题干是这样说的：
这个starting 18 years from now翻译过来就是：首笔PMT付款时点是在18时间点上。有了这个条件后，就不再需要再通过先付还是后付来确认PMT付款时点是在17还是18了。
与之类似的说法是“in 18 years”，同样也是时间点就确认在18时点上，例如这道题（原版书R1，Q23），题干并没给出先付还是后付的条件，但不影响四笔PMT的时间就是18,19,20,21.
以上举例子的这几道题会做了，这个问题就解决了。
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（1+i/y）在确定付款时点时都不需要考虑。重复一下之前的回复：“时间价值问题中不会出现类似你描述的 折算后再去调整时间点（即“再乘以（1+5%）”） 的这种问题。所有的题目都是直接折现的。是哪个点就是哪个点，不用继续调整”
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需要考虑乘以（1+r）的情况是先付和后付年金现值和终值的转化。
如果计算先付年金的现值，一种方法是将计算器调为BGN模式，一种情况是不调整计算器，直接算出同等情况下后付年金的现值。然后将这个现值乘以（1+r）。
终值也这么处理，先付年金的终值=对应后付年金终值×（1+r）