effective convexity推导

上面这个公式是求2阶导数近似的结果。不管是不是convexity，任意一个函数求二阶导数都是近似等于这样。

放到convexity这里，P-就是利率下降△y后的价格，P+就是利率上升△y后的价格，P0是期初价格。

而convexity是利率敏感度，要考虑基于P0的相对改变，所以要给上面二阶导再除以P0，于是有effective convexity的公式：

effective duration之所以分母有除以2，是因为算了一个对称的平均数。

因为以P0为原点，他的左duration，和右duration是不一样大的。

如，以P0为原理，利率下降△y，得到左duration

以P0为原点，让利率上升△y，得到右duration：

以上2个duration都是P0这点的duration，区别就是利率的改变方向不一样，而且这两个duration大小是不一样的，所以为了更准确衡量P0这点的duration，就给把以上2个方向的duration相加算了平均数，平均数代表P0的duration，所以才导致分母有2.

而算convexity的时候，计算本身就已经考虑到了对称性的问题了，所以无需再算平均。