duration 相同，convexity越大，coupon rate越大，如何理解和推导
吴昊_品职助教 · 2024年08月19日
嗨，爱思考的PZer你好：
这里的Duration指的是Macaulay duration。按照Macaulay duration的定义，他衡量的是：债券现金流发生的平均时间，所以它可以衡量我们投资债券收到现金流花费的平均时间。
那现在我们有两支债券，债券A与债券B，他俩的Macaulay duration相等。意味着平均而言，投资这两支债券收到现金流的时间一致。
假设现在债券A的Coupon rate更大，那就意味着投资相同的时间，投资债券A我们会收到更多的Coupon现金流，这会加速债券A现金流的回流速度，于是会缩短回收债券A现金流的平均时间，也就是会使得债券A的Macaulay duration降低。
现在为了保持债券A与债券B的Macaulay duration一致，那债券A的最后一笔现金流、本金现金流发生的时间必须要更晚（比债券B更晚），这样会延长债券A现金流发生的平均时间Macaulay duration，从而使得债券A与债券B的Macaulay duration一致。
因为Macaulay duration是平均数的概念，所以我们完全可以用平均数来理解。
两组数据的平均数一样，例如：
第一组数据：1，10，19，他的平均数是10
第二组数据：5，10，15，他的平均数也是10
两个债券的Macaulay duration都是10，意味着平均而言，投资这两支债券收到现金流的时间一致，为10年；
现在债券A的Coupon rate更大，意味着投资债券A，早期就会收到大笔现金流，例如用上面这两组数据来看，投资债券A第一年就会收到大笔现金流；
而对于Coupon rate更小的债券，如果要收到同样金额的现金流，可能需要在第5年才能收到；
也就是债券A的Coupon rate更大，期间现金流多，只用了1年时间，就收到了债券B 5年发生的现金流；
但是为了让两支债券的现金流发生平均时间一致，保持为10年，那债券A的最后一笔现金流发生的时间必须更晚，例如，发生在第19年；这样，才会让两组的平均数一样。
总结下：
Coupon rate更大，会加速债券现金流的回流速度，降低债券现金流发生的平均时间Macaulay duration，现在我们要保持两个债券的Macaulay duration一致，那Coupon rate更大的这支债券期限必须更长，这样最后一笔本金现金流发生的时间更晚，会延长债券的Macaulay duration，使得两个债券的Mac.Duration又保持一致。
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