convexity

long option都是正的convexity。所以只要是long put or long call，都可以增加convexity，获得正的convexity。

long callable bond之所以会获得negative convexity，是因为long callable bond里面的这份权利是short call option，即：

long callable bond = long option-free bond + short call option on bond

因为投资者long callable，这时候是发行人持有call option权利，是发行人有权提前赎回，并不是投资者持有call option权利，相当于是投资者发行了call option给了债券的发行人。于是投资者是short call option头寸，所以

投资者Long callable bond = long option-free bond + short call option on bond

long call option可以增加convexity，但long callable bond是获得short call option头寸，是降低convexity。

另外long putable bond = long option-free bond + long put option on bond，这是投资者持有权利，所以买入putable bond相当于是额外买了long option头寸，可以用来增加组合的convexity

option都是正的convexity哈，只要long option即可增加convexity；相反short option就是降低convexity。put与call都成立。