Putable bond在不行权时

嗨，从没放弃的小努力你好：

但是咋的也是加了一个数，不是还比option free大吗？我是觉得，只是r越高，put越OTM，没啥用而已。但是总收益还是比普通的高耶？

这个是问most profitable的一个，其实是前后价差收入最大的一个，不是单纯地比期末的价格大小哈。

已知，Putable bond = option-free bond + put option on bond

callable = option-free bond - call option on bond

还有一个Option-free bond，三个债券可比，则option-free bond部分的价格相等，所以只比价格的话，天然地会满足以下情况，价格排序是：

putable价格 > option-free价格 > callable价格

只比价格的话，这个是一定成立的。

但现在题目要找most profitable的一个，要找到投资这个债券后，价格上升最大的一个。

期初买入Putable bond，其价格等于option-free bond + put option on bond，相当于是买了2个资产，option-free bond和put option。期末利率下降了，第一个资产option-free bond的价格上升了，有收益，但是第2个资产put-option on bond价格下降了，有亏损。

所以putable bond这个portfolio（option-free bond + put option on bond）获得的价格上涨肯定小于单纯的option-free bond的价格上升。因为有put option的拖累，Put option的下跌部分会抵消一部分option-fee bond的价格上升。

看option-free bond的话，利率下降只有债券价格上升，且没有任何拖累。所以看前后的价差收入，在利率下降时，option-free bond的价格上升大于putable bond，所以option-free bond的盈利更大

只是r越高，put越OTM

这块是r越低，put越OTM哈

但是总收益还是比普通的高耶？

是putable bonds的价格天然地大于等于option-free bond的价格，这个一定成立。但是比收益的话，不一定，需要分析投资债券前后的价差改变。

callable在不行权的时候，Vcall option价格下降，Vcallable＝Voption free－Vcall吧，肯定还是低于Voption free吧？ 

假设利率上升，callable不行权。

看Option-free bond的话，其价格正常下降。

而对于callable bond来说，这个组合内部的option-free bond的价格下降，但同时call option on bond的价格也下降（因为前面有负号，这其实是对投资者有利的）。所以对于callable bond这个组合，利率上升时，call option on bond的价格改变会带来的收益，会抵消一部分option-fee bond价格下跌的部分，这导致利率上升时，callable bond的价格下跌要比单纯的option-free bond要少。所以此时，callable bond的盈利大于option-free

含权债券盈利对比一定要看前后的价格改变，而不是单纯地看期末价格。

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虽然现在很辛苦，但努力过的感觉真的很好，加油！