QM第三章：b1的标准差为什么是由残差项的标准差决定的？

嗨，爱思考的PZer你好：

以老师课上画过的图为例。回归分析是通过从总体中抽取的样本来估计系数的。不同的样本会估计出不同的系数，对应不同的残差。

所以系数的参数估计量和残差都是随机变量。

下图的左图中，历次估计的直线都相差不大，所以斜率系数（b1）的估计量也相差不大。对应系数b1估计量的标准误也就比较小。同时，由于各条直线都差不多，所以和数据点之间的残差也差不多。残差估计量的波动也不大。对应残差估计量的标准误也就比较小。

下图的右图中，历次估计的直线相差较大。对应斜率系数（b1）的估计量波动的也就比较大，反应到系数b1估计量的标准误上就是标准误大。同时，由于各条直线和数据点的位置不一，残差估计量相差的也多，对应残差估计量的标准误也大。

由此可以看出，残差估计量的标准误 和 系数b1估计量的标准误 是有一定关系的。如果残差估计量的标准误很大，系数b1估计量的标准误就也会很大。反之也是一样。以上是图像角度的简单理解。

如果从数学角度出发，这个关系实则非常简单。系数b1估计量的标准误 和 残差估计量的标准误 两者之间有公式联系。这个公式比较复杂，教材并没有给出。但可简单理解为系数b1估计量的标准误 =A × 残差估计量的标准误 （其中A是一系列其他式子的组合）。所以如果后者变化，前者必然随着变化。

以上从图像到公式都不是教材内容。只掌握最终的结论：系数b1估计量的标准误 会受到 残差估计量的标准误 的影响 即可。

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