FRM1 讲义P75页 例题 FRM Exam 2002-Q70

嗨，努力学习的PZer你好：

要展开协方差的表达式，首先，我们知道两个随机变量X和Y的协方差可以用以下公式表示：

cov(X, Y) = E[(X - μX)(Y - μY)]

其中，( μX ) 和 ( μY ) 分别是X和Y的期望值（均值）。对于线性组合 ( ax + by )，我们可以将其带入协方差的定义中并展开：

cov(ax + by, cx + dy)

首先，计算各自的期望值：

μ{ax+by} = aμX + bμY

μ{cx+dy} = cμX + dμY

现在，将这些期望值代入协方差的定义中：

cov(ax + by, cx + dy) = E[((ax + by) - (aμX + bμY))((cx + dy) - (cμX + dμY)) ]

展开后整理，可以得到：

cov(ax + by, cx + dy) = E[(ac(X-μX)(X-μX) + ad(X-μX)(Y-μY) + bc(Y-μY)(X-μX) + bd(Y-μY)(Y-μY))]

进一步整理可以得到：

cov(ax + by, cx + dy) = accov(X, X) + adcov(X, Y) + bccov(Y, X) + bdcov(Y, Y)

最后，利用协方差的性质cov(X, X) =Var(X) 和 cov(Y, Y) = Var(Y) ，整理得到最终结果：

cov(ax + by, cx + dy) = acVar(X) + adcov(X, Y) + bccov(Y, X) + bdVar(Y)

----------------------------------------------
加油吧，让我们一起遇见更好的自己！